Câu 1:


Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\), có đồ thị hàm số \(y = f'(x)\) như hình vẽ:





Hàm số \(g(x) = f(x^2 + 2)\) đồng biến trên khoảng nào?

Câu 2:


Cho hàm số: \(y = f(x)\) có đạo hàm \(f'(x) = x^2(x-9)(x-4)^2, \forall x \in \mathbb{R}\). Hàm số \(g(x) = f(x^2)\) đồng biến trên khoảng nào?

## Câu 3:


Đạo hàm hàm số: \(y = |x^3 + 2x + 3x^2|\) là:

## Câu 5:


Cho hàm số \(y = \frac{x-1}{x^2 + 2x + n}\). Xác định \(n\) để đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng \(x = x_1, x = x_2\) thỏa

mãn: \(x_1 - x_2 = 5\).

### Câu 6:


Có bao nhiêu các giá trị nguyên \(m \in [-5;5]\) để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi \(x \in \mathbb{R}: 3\sin^3 x - 5\sin 3x - 36\cos^2 x - 15\sin x + 36 + 24m \ge 0\)

## Câu 7:


Cho hàm số \(y = \frac{-x^2 + 2x - m + 5}{2x - m}\) có đồ thị \((Cm)\). Tìm \(m\) để \((Cm)\) cắt \(Ox\) tại hai điểm và tiếp tuyến tại hai điểm đó song song với nhau? (nhập đáp án vào ô trống)


Đáp án:



## Đáp án đúng là "0"


### Phương pháp giải


Xác định hệ số góc của hai tiếp tuyến tại giao điểm với trục \(Ox\)


### Lời giải


Điều kiện xác định: \(x \neq \left\{ \frac{m}{2} \right\}\)


Xét phương trình hoành độ giao điểm: \(\frac{x^2 + 2x - m + 5}{2x - m} = 0 \Rightarrow x^2 + 2x - m + 5 = 0\) (1)


Để \((Cm)\) cắt \(Ox\) tại hai điểm phân biệt \(\Rightarrow \begin{cases} \left(\frac{m}{2}\right)^2 + 2 \cdot \frac{m}{2} - m + 5 \neq 0 \\ \Delta' > 0 \end{cases}\)


\[ \Rightarrow \begin{cases} \frac{m^2}{4} + m - m + 5 \neq 0 \\ 1 - (-m + 5) > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \frac{m^2}{4} + 5 \neq 0 \\ m > 4 \end{cases} \]


Khi đó phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \(x_1\) và \(x_2\) thỏa mãn hệ thức Viet:


\[ \begin{cases} x_1 + x_2 = -2 \\ x_1 \cdot x_2 = -m + 5 \end{cases} (*) \]


Phương trình tiếp tuyến của \((Cm)\) tại \(x = x_1\) và \(x = x_2\) có dạng:


\[ d: y = y'(x_1).(x - x_1) + y(x_1) \text{ và } \Delta: y = y'(x_2).(x - x_2) + y(x_2) \]


Để hai tiếp tuyến song song với nhau \(\Rightarrow y'(x_1) = y'(x_2)\) (2)


\[ \begin{align} \Rightarrow \frac{-2x_1^2 + 2mx_1 - m - 10}{(2x_1 - m)^2} &= \frac{-2x_2^2 + 2mx_2 - m - 10}{(2x_2 - m)^2} \\ \Leftrightarrow (-2x_1^2 + 2mx_1 - m - 10)(2x_2 - m)^2 &= (-2x_2^2 + 2mx_2 - m - 10)(2x_1 - m)^2 \\ \Leftrightarrow (x_1^2 - x_2^2)(-6m - 40) + (x_1 - x_2)(2m^3 - 4m^2) &= 0 \\ \Leftrightarrow (x_1 - x_2)[(x_1 + x_2)(-6m - 40) + 2m^3 - 4m^2] &= 0 \\ \Leftrightarrow \begin{cases} x_1 - x_2 = 0 \\ (x_1 + x_2)(-6m - 40) + 2m^{3} - 4m^{2} = 0 \end{cases} \end{align} \]


Trường hợp 1: \(x_1 - x_2 = 0\)

Kết hợp với hệ phương trình (*) ta có:
\[\begin{cases} x_1 + x_2 = -2 \\ x_1 \cdot x_2 = -m + 5 \Rightarrow \\ x_1 - x_2 = 0 \end{cases} \quad \begin{cases} x_1 = -1 \\ x_2 = -1 \\ -m + 5 = 1 \end{cases} \Rightarrow m = 4 \text{ (loại)}\]


Trường hợp 2:


\[
\begin{aligned}
(x_1 + x_2)(-6m - 40) + 2m^3 - 4m^2 &= 0 \\
\Leftrightarrow (6m + 40) + 2m^3 - 4m^2 &= 0 \\
\end{aligned}
\]


Mà \(m > 4\)


Vậy không có giá trị nào của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán

## Câu 8:


Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị nguyên của \(m\) thuộc khoảng \((-10;10)\) để đồ thị hàm số:
\[ (C): y = x^3 - (m+2)x^2 + 3mx - 6 \] và parabol \((P): y = 2x^2 - 7x + 2m\) cắt nhau tại ba điểm phân biệt: \(A, B, C\) thỏa mãn: \(x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 \le 43\). Tính tổng các phần tử của \(S\)? (nhập đáp án vào ô trống)


Đáp án:


Đáp án đúng là "-45"


Phương pháp giải


Xét phương trình hoành độ giao điểm, nhẩm nghiệm và ứng dụng hệ thức Viet để giải


## Lời giải


Xét phương trình hoành độ giao điểm:


\[
\begin{aligned}
x^3 - (m+2)x^2 + 3mx - 6 &= -2x^2 - 7x + 2m \\
\Leftrightarrow x^3 - (m+2)x^2 + 3mx - 6 + 2x^2 + 7x - 2m &= 0 \\
\Leftrightarrow x^3 - mx^2 - 2x^2 + 3mx - 6 - 2x^2 + 7x - 2m &= 0 \\
\Leftarrow x^3 - mx^2 - 4x^2 + 3mx + 7x - 2m - 6 &= 0 \\
\Leftrightarrow (x^3 - 4x^2 + 7x - 6) + m(-x^2 + 3x - 2) &= 0 \\
\Leftrightarrow (x - 2)(x^2 - 2x + 3) - m(x - 1)(x - 2) &= 0
\end{aligned}
\]

\[ \Leftrightarrow (x-2)(x^2 - 2x + 3 - m(x-1)) = 0 \]


\[ \Leftrightarrow \begin{cases} x-2 = 0 \\ x^2 - (2+m)x + 3+m = 0 \end{cases} \]


\[ \Leftrightarrow \begin{cases} x = 2 \\ x^2 - (2+m)x + 3+m = 0 \end{cases. \]


Để hai đồ thị hàm số cắt nhau tại ba điểm phân biệt thì phương trình hoành độ giao điểm phải có 3 nghiệm phân biệt.


\[ \Rightarrow \text{ phương trình } x^2 - (2+m)x + 3+m = 0 \text{ có hai nghiệm phân biệt khác } 2 \]


\[ \Rightarrow \begin{cases} 4 - 2(2+m) + 3+m \neq 0 \\ (2-m)^2 - 4(3+m) > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m \neq 3 \\ m < 4 - 2\sqrt{6} \quad (1) \\ m > 4 + 2\sqrt{6} \end{cases} \]


\[ \text{Khi đó phương trình } x^2 - (2+m)x + 3+m = 0 \quad \text{ có hai nghiệm } x_1 \text{ và } x_2 \text{ thỏa mãn } \begin{cases} x_1 + x_2 = 2+m \\ x_1x_2 = 3+m \end{cases} \]


\[ \text{Theo bài ta có: } x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 \leq 43 \Leftrightarrow x_1^3 + x_2^3 + 8 \leq 43 \]


\[ \Rightarrow (x_1 + x_2)(x_1^2 - x_1x_2 + x_2^2) \leq 35 \Leftrightarrow (x_1 + x_2)[(x_1 + x_2)^2 - 3x_1x_2] \leq 35 \]


\[ \Leftrightarrow (2+m)[(2+m)^2 - 3.(3+m)] \leq 35 \]


\[ \Leftrightarrow m^3 + 3m^2 - 3m - 45 \leq 0 \]


\[ \Rightarrow m \leq 3 \]


\[ \text{Kết hợp các điều kiện ta có } m \in (-10; 4 - 2\sqrt{6}) \text{ mà } m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \{-9; -8; -7; -6; -5; -4; -3; -2; -1\} \]


\[ \text{Vậy tổng các phần tử của } S \text{ là: -45} \]

## Câu 11:


Gọi \(x_1, x_2\) là hai nghiệm thực của phương trình \(\log_3 \frac{x-2}{x^2-4x+5} - x^2 + 7x-10 = 0\). Tính \(T = |x_1 - x_2|\). (nhập đáp án vào ô trống)


Đáp án:





## Đáp án đúng là "7"


### Phương pháp giải


Chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất bằng cách sử dụng MTCT nhằm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu chứng minh hàm luôn đơn điệu trên khoảng xác định hoặc đánh giá hai vế hoặc đặt ẩn phụ không hoàn toàn hoặc một phương pháp nào đó.


### Lời giải


Phương trình đã cho xác định với mọi \(x > 2\).


Ta có lập hai hàm số loga về hai vế và biến đổi hai vế về hai biểu thức như hai biểu thức dưới dấu loga, ta được phương trình:


\[ \begin{aligned} \log_3 \left( \frac{x-2}{x^2-4x+5} \right) - x^2 + 7x-10 &= 0 \Leftrightarrow \log_3 (x-2) = \log_3 \left( x^2 - 4x + 5 \right) + x^2 - 7x + 10 \\ \Leftrightarrow \log_3 (3x-6) + (3x-6) = \log_3 \left( x^2 - 4x + 5 + x^2 - 4x + 5 \right) \\ \Leftrightarrow f(3x-6) = f \left( x^2 - 4x + 5 \right) \end{aligned} \]


Xét hàm số: \(f(t) = \log_3 t + t\) trên \((0; +\infty)\)


\[ + \text{Có: } f'(t) = \frac{1}{t \ln 3} + 1 > 0, \forall t \in (0; +\infty) \]

+ Vậy hàm số \(f(t) = \log_3 t + t\) đồng biến trên \((0; +\infty)\)


Vậy phương trình đã cho: \(\Leftrightarrow f(3x-6) = f(x^2-4x+5) \Leftrightarrow 3x-6 = x^2-4x+5\)


\[ \Leftrightarrow x^2 - 7x + 11 = 0 \Leftrightarrow \begin{cases} x = \frac{7 - \sqrt{5}}{2} \\ x = \frac{7 + \sqrt{5}}{2} \end{cases} (\text{TMĐK}) \]


Vậy: \(|x_1 - x_2| = 7\).

## Câu 12:


Gọi \(S\) là tập hợp các nghiệm thực của phương trình \(2^{x^2-3x+2} - 2^{x^2-x-2} = 2x-4\). Số phần tử của \(S\) là? (nhập đáp án vào ô trống)


Đáp án:


Đáp án đúng là "1"


### Phương pháp giải


Biến đổi phương trình về dạng: \(f(u) = f(v)\) và chứng minh \(f(t)\) đơn điệu trên khoảng \((a; b)\) ta áp dụng tính chất trên để đưa phương trình đã cho về dạng đơn giản hơn có thể giải được


### Lời giải


Phương trình đã cho xác định với mọi \(x \in \mathbb{R}\).


Ta có lập hai hàm số mũ về hai vế và biến đổi hai vế với phép toán với số mũ hai vế (vì hệ của số mũ của \(x^2\) trong hai hàm số mũ bằng nhau), ta được phương trình:


\[ \begin{aligned} 2^{x^2-3x+2} - 2^{x^2-x^2-2} &= 2x-4 \Leftrightarrow 2^{x^2-3x+2} + (x^2-3x+2) = 2^{x^2-x^2-2} + (x^2-x-2) \\ \Leftrightarrow f(x^2-3x+2) &= f(x^2-x-2) \end{aligned} \]


Xét hàm số: \(f(t) = 2^t + t\) trên \(\mathbb{R}\)


+ Có: \(f'(t) = 2^t \ln 2 + 1 > 0, \forall t \in \mathbb{R}\)


+ Vậy hàm số \(f(t) = 2^t + t\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\)


Vậy phương trình đã cho:


\[ \Leftrightarrow f(x^2-3x+2) = f(x^2-x-2) \Leftrightarrow x^2-3x+2 = x^2-x-2 \Leftrightarrow x = 2. \]

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm

## Câu 13:


Một người gửi ngân hàng với lãi suất 9,2% một năm theo hình thức lãi kép. Hỏi sau bao lâu người đó tiết kiệm được gấp 3 số tiền ban đầu? (nhập đáp án vào ô trống, kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)


Đáp án:





Đáp án đúng là "12"


Phương pháp giải


Xây dựng công thức lãi kép


Lời giải


Gọi số tiền ban đầu người đó có là \(A\) triệu đồng


Theo công thức lãi kép ta có: \(S = A(1+9,2\%)^n\)


Với \(S\) là số tiền người đó nhận được sau \(n\) thời gian gửi


\(n\): năm gửi


Sau một thời gian gửi người đó nhận được số tiền gấp 3 số tiền ban đầu


\[ \Rightarrow A(1+9,2\%)^n = 3A \Leftrightarrow (1+9,2\%)^n = 3 \Rightarrow n = \log_{(1+9,2\%)} 3 = 12,48 \approx 12 \]


Vậy sau 12 năm người đó sẽ tiết kiệm được gấp 3 lần số tiền gốc ban đầu

## Câu 14:


Họ các nguyên hàm của hàm số \(f(x) = e^{4x+1}\) là:

Câu 15:


Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật, \(SA\) vuông góc với đáy. Gọi \(H, K\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(SB, SD\). Mặt phẳng \((AHK)\) vuông góc với đường thẳng nào sau đây?

### Câu 16:


Mốt của mẫu số liệu trên là bao nhiêu?

### Câu 17:


Xác định ngưỡng cân nặng để chọn ra 25% bạn có cân nặng cao nhất?

## Câu 18:


Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên là bao nhiêu?

## Câu 19:


Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác cân tại \(A\) có \(AB = AC = a, A = 30^\circ\), các mặt bên là hình chữ nhật. Góc giữa đường thẳng \(AC'\) và mặt đáy bằng \(60^\circ\). Tính thể tích hình lăng trụ đã cho.

## Câu 20:


Bệnh thalassemia là một bệnh di truyền lặn trên nhiễm sắc thể thường. Để bị bệnh thalassemia, một cá thể phải có kiểu gen đồng hợp lặn (tt) (bị bệnh). Trong một gia đình cả hai bố mẹ đều khỏe mạnh và cùng mang gen \(Tt\). Họ có 3 người con. Tính xác suất để ba người con có đúng ít nhất 1 bị bệnh (Làm tròn kết quả đến hàng chục). Giả sử tỉ lệ kiểu gen của con cái được cho bởi bảng như sau:

	T	t
T	TT (Khỏe mạnh)	Tt (Khỏe mạnh)
t	Tt (Khỏe mạnh)	Tt (bị bệnh)

Câu 21:


Tính giới hạn của dãy số: \(\begin{cases} u_1, u_2 = 2 \\ u_{n+1} = 2u_n - u_{n-1} + 2 \end{cases}\) với \(n \geq 2\)

Câu 22:


Cho một cấp số cộng có \(u_4 = 2, u_2 = 4\). Hỏi \(u_1\) và công sai \(d\) bằng bao nhiêu?

## Câu 23:


Cho các số thực dương \(a, b\) thỏa mãn \(a^2 + 9b^2 = 10ab\). Khẳng định nào sau đây là đúng?

## Câu 24:


Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành. Gọi \(M, N, P\) lần lượt là các điểm thuộc \(SB; SC; SD\) sao cho: \(SM = BM, 2SC = CD, 4PD = SD\). Phân tích \(\overline{MN}\) theo các vectơ \(\overrightarrow{SA}, \overrightarrow{SB}, \overrightarrow{SC}\)?

Câu 25:


Trong không gian hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \((P)3x-2y+z-9=0\). Điểm \(M(a,b,c)\) thuộc mặt phẳng \((P)\) sao cho \(|MA-MB|_{\text{max}}\), biết điểm \(A(-1;2;2)\), \(B(2;1;-1)\). Tính tổng \(T=a+b+c\). (Nhập đáp án vào ô trống)


Đáp án:





Đáp án đúng là "-9"


Phương pháp giải


Lời giải


Xét vị trí của A và B so với mặt phẳng \((P)\):


\[Ta có: P(A) = 3.(-1) - 2.(2) + 2 - 6 = -11, P(B) = 3.2 - 2 - 1 - 6 = -3\]


Ta thấy: \(P(A).P(B) = 33 > 0 \Rightarrow A\) và B cùng phía so với mặt phẳng \((P)\)


Để \(|MA-MB|_{\text{max}}\) thì \(M=AB \cap (P)\)


Lập phương trình đường thẳng \(AB\)


\[\overrightarrow{AB} = (3; -1; -3)\]


\[\text{Phương trình đường thẳng } AB \text{ có dạng:} \begin{cases} x = -1 + 3t \\ y = 2 - t \\ z = 2 - 3t \end{cases} \text{ với } t \in \mathbb{R} \\ y = 2 - 3t\]


Tọa độ \(M\) là nghiệm của hệ phương trình:


\[\begin{cases} x = -1 + 3t \\ y = 2 - t \\ \Rightarrow \\ z = 2 - 3t \\ 3x - 2y + z - 9 = 0 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} x = -1 + 3t \\ y = 2 - t \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} x = -5 \\ y = 0 \\ z = -4 \end{cases} \quad \Rightarrow M(-5; 0; -4) \\ t = 2\]

Câu 26:


Cho hàm số \(y = f(x)\) có bảng biến thiên:




Xác định số tiệm cận của đồ thị hàm số: \(y = \frac{1}{f^2(x) - 3f(x) + 2}\)? (nhập đáp án vào ô trống)


Đáp án:


Đáp án đúng là "4"


Phương pháp giải


Ta có: \(\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = 0 \Rightarrow\) Đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang


Xét phương trình \(f^2(x) - 3f(x) + 2 = 0 \Leftrightarrow \begin{cases} f(x) = 1 \\ f(x) = 2 \end{cases}\)


Dựa vào bảng biến thiên của hàm số \(y = f(x)\) ta thấy đồ thị hàm số \(y = f(x)\) cắt hai đường thẳng \(y = 1, y = 2\) lần lượt tại 2, 1 điểm


\(\Rightarrow\) Đồ thị có 3 tiệm cận đứng


Vậy tổng đồ thị hàm số đã cho có 4 tiệm cận


Lời giải


Ta có: \(\lim_{x \to \pm\infty} f(x) \neq 0 \Rightarrow\) Đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngANG


Xét phương trình \(f^2(x) - 3f(x) - 2 = 0 \Leftrightarrow \begin{cases} f(x) = 1 \\ \text{ } f(x) = 2 \end{cases}\)


Dựa vào bảng biến thiên của hàm số \(y = \text{f}(x)\) ta thấy đồ thị hàm số \(y = \text{f}(x)\) cắt hai đường thẳng \(y = 1, y = 2\) lần lượt tại 2, 1 điểm


\(\Rightarrow\) Đồ thị có 3 tiệm cận đứng.


Vậy tổng đồ thị hàm số đã cho có 4 ticm cận

Câu 27:


Cho đồ thị hàm số \(y = f(x)\) có đồ thị như hình vẽ:




Hàm số \(y = |f(x)|\) có giá trị lớn nhất trên đoạn \([-2; 4]\) là bao nhiêu? (Nhập đáp án vào ô trống)


Đáp án:


Đáp án đúng là "8"


Phương pháp giải


Dựng đồ thị hàm số \(y = |f(x)|\) trên đoạn \([-2; 4]\) dựa vào đồ thị hàm số \(y = f(x)\)


Lời giải


Ta có: Đồ thị hàm số \(y = |f(x)|\) trên đoạn \([-2;4]\)




Dựa vào đồ thị hàm số \(y = |f(x)|\) ta thấy hàm số đạt giá trị lớn nhất là \(f(-2) = 8\)

Câu 28:


Một trường đại học kiểm tra sinh viên gian lận trong thi cử bằng máy kiểm tra gian lận. Theo thống kê có 5% số sinh viên gian lận. Nếu sinh viên gian lận máy báo gian lận chính xác là 95%. Nếu không gian lận thì khả năng báo nhầm là 3%. Nếu máy phát hiện ra một sinh viên gian lận thì xác suất để sinh viên đó thực sự gian lận là bao nhiêu?

## Câu 29:


Một loại thuốc được tiêm vào máu với liều lượng ban đầu là \(D_0\) mg. Nồng độ thuốc trong máu giảm dần theo thời gian do quá trình chuyển hóa của cơ thể. Giả sử nồng độ thuốc trong máu tại thời điểm \(t\) giờ được mô tả bởi hàm: \(C(t) = D_0.e^{-kt}\). Trong đó: \(D_0\) là liều lượng thuốc ban đầu (đơn vị: mg), k là hằng số tốc độ chuyển hóa, đặc trưng cho tốc độ loại bỏ thuốc (đơn vị 1/giờ), t: thời gian tính từ lúc tiêm thuốc (đơn vị: giờ). Tính tốc độ thay đổi của nồng độ thuốc trong máu tại thời điểm mà nồng độ trong máu giảm đến mức 60% so với liều ban đầu? (làm tròn kết quả đến hàng chục)


A. \(C = 0,6k.D_0\). B. \(C = -0,06k.D_0\). C. \(C = 0,06k.D_0\). D. \(C = -0,6k.D_0\).


## Đáp án đúng là D


### Phương pháp giải


#### Lời giải


Liều lượng thuốc ban đầu là \(D_0\)


Nồng độ thuốc trong máu tại thời điểm \(t\) là \(C(t) = D_0.e^{-kt}\)


Theo bài nồng độ thuốc tại thời điểm t giảm đến mức 60% so với liều lượng ban đầu


\[\Rightarrow 0,6D_0 = D_0.e^{-kt}\]


\[\Rightarrow e^{-kt} = 0,6 \Rightarrow t = -\frac{\ln(0,6)}{k}\]


Tốc độ thay đổi nồng độ thuốc theo thời gian là đạo hàm của hàm \(C(t) = D_0.e^{-kt}\)


\[\Rightarrow C'(t) = -k.D_0.e^{-kt}\]

Tại thời điểm \(t = -\frac{\ln 0,6}{k}\), nồng độ thuốc trong máu là \(C = -k.D_0.e^{\ln(0,6)} = -0,6k.D_0\)

## Câu 30:


Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(M(2;1;3)\) và \(N(4;3;-5)\). Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \(MN\) có phương trình là?


\[A. x+y-4z-9=0. \quad B. x+y+4z-15=0. \quad C. x+y+4z+15=0. \quad D. x+y-4z+9=0.\]


## Đáp án đúng là A


### Phương pháp giải


Mặt phẳng trung trực là mặt phẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của đoạn thẳng đó


### Lời giải


Gọi \(P(3;2;-1)\) là trung điểm của \(MN\)


Mặt phẳng trung trực của \(MN\) đi qua \(P(3;2;-1)\) và nhận \(\overline{MN} = (2;2;-8)\) làm vtpt có phương trình là: \(2(x-3)+2(y-2)-8(z+1)=0\) hay \(x+y-4z-9=0\).

## Câu 31:


Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho đường thẳng \(d: \begin{cases} x = -2 + t \\ y = 1 + t \\ z = -t \end{cases}\) với \(t \in \mathbb{R}\), điểm \(A(-1;2;1)\). Gọi \(H\) là hình chiếu của \(A\) trên \(d\). Có bao nhiêu điểm \(A'\) sao cho 3 điểm \(A,A',H\) thẳng hàng và \(AH' = 3AH\)? (nhập đáp án vào ô trống)


Đáp án:


### Đáp án đúng là "2"


### Phương pháp giải


Xác định tọa độ hình chiếu \(H\). Cần chú ý đến vecto cùng chiều và ngược chiều


### Lời giải


Đường thẳng \(d: \begin{cases} x = -2 + t \\ y = 1+t \\ z = -t \end{cases}\) có vecto chỉ phương: \(\vec{u_d} = (1;1;-1)\)

H là hình chiếu của A trên \(d \Rightarrow H(-2+t;1+t;-t) \Rightarrow \overline{AH} = (-1+t;t-1;-t-1)\)


Vì H là hình chiếu của A trên d nên


\[
\begin{aligned}
\overline{AH} \cdot \overline{u_d} &= 0 \Rightarrow -1+t+t-1-(-t-1) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{3} \\
\Rightarrow H \left( \frac{-5}{3}; \frac{4}{3}; -\frac{1}{3} \right)
\end{aligned}
\]


Để ba điểm A, H, A' thẳng hàng và AA' = 3AH thì chúng ta có hai trường hợp


TH1: \(\overline{AA'} = 3\overline{AH}\). Trường hợp này cho chúng ta tọa độ 1 điểm A'


TH2: \(\overline{AA'} = -3\overline{AH}\). Trường hợp này cho chúng ta tọa độ 1 điếm A'


Vậy có 2 điểm A' thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 32:


Trong hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;2;-1), đường thẳng Δ: \(\begin{cases} x = 3t \\ y = -2+t, \text{ với } t \in \mathbb{R}, \text{ mặt phẳng } z = 1-t \end{cases}\) \((\overline{P})2x-2y+z-1=0\). Gọi d là đường thẳng đi qua A, nằm trong mặt phẳng \((\overline{P})\) và tạo với Δ một góc bé nhất là \(\alpha\). Tính sin\(\alpha\)?

## Câu 33:


Hàm số \(f(x) = \sin \frac{x}{10} + \tan \frac{x}{8}\) có chu kì tuần hoàn nhỏ nhất là bao nhiêu?

## Câu 34:


Để thực hiện kế hoạch mua nhà, chị A cần chuẩn bị một số vốn ngay từ bây giờ. Gia đình chị hiện đang có 600 triệu đồng gửi tiết kiệm với lãi suất 0,3% một tháng theo hình thức lãi kép. Sau 10 tháng, chị A gửi thêm vào 800 triệu đồng nhưng lãi suất các tháng sau thay đổi là 0,4% một tháng. Được 1 năm anh chị lại gửi thêm 500 triệu đồng vào tài khoản đó với lãi suất sau đó là 0,3%. Chị đang muốn mua 1 căn chung cư nhỏ với giá tầm 2 tỉ rưỡi. Chị lo giá nhà tăng mạnh nên quyết định sau 3 năm chị sẽ rút tiền ra và đi vay thêm họ hàng, người quen để mua nhà. Vậy sau 3 năm chị cần vay thêm bao nhiêu để đủ tiền mua nhà. Giả sử trong hai năm đó giá nhà không có sự biến động. (Nhập đáp án vào ô trống)


Đáp án:


Đáp án đúng là "427"


Phương pháp giải


Sử dụng công thức lãi kép


Lời giải


Số tiền của chị \(A\) bao gồm cả gốc và lãi sau 10 tháng gửi là: \(T_1 = 600(1+0,3\%)^{10}\) triệu đồng


Sau 10 tháng chị A gửi thêm 800 triệu vào ngân hàng ⇒ Số tiền của chị A tại thời điểm đó là:


\[S = 800 + 600(1+0,3\%)^{10} \text{ triệu đồng}\]


Lãi suất các tháng sau tăng thành 0,4%. Sau đó 1 năm chị gửi thêm 500 triệu với lãi suất sau đó là 0,3% một tháng


Vậy sau hai năm anh chị rút cả gốc lẫn lãi sẽ thu được:


\[S = ((800 + 600.1,003^{10})(1+0,4\%)^{12} + 500).(1+0,3\%)^{14} \approx 2073\]


Vậy sau 3 năm chị rút về cả gốc và lãi được 2 tỉ 073 triệu


⇒ Chị cần vay thêm 427 triệu

Câu 35:

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác vuông tại \(C\). \(\widehat{ABC} = 30^\circ\). Tam giác \(SAC\) đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi \(M\) là điểm thuộc \(SC\) sao cho mặt phẳng \((MAB)\) tạo với mặt phẳng \((SAB)\) và mặt phẳng \((ABC)\) các góc bằng nhau. Tính tỉ số \(\frac{SM}{MC}\)?

Câu 36:


Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho tứ diện đều OBCD có B(1;0;0), C(1/2;√3/2;0), D(1/2;√3/6;√6/3). Xác định mặt cầu có tâm trùng với trọng tâm của tứ diện và đi qua điểm A(2;-1;3).

## Câu 37:


Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số \(a\) thuộc khoảng \((0; 2025)\) để \(\lim_{4^{n+1} + 5^{n+2a}} \frac{5^n + 3^{n+2}}{4^n + 5^{n+2a}} \leq \frac{1}{125}\). (Nhập đáp án vào ô trống)


Đáp án:


## Đáp án đúng là "2023"


### Phương pháp giải


Tính giới hạn và đánh giá


### Lời giải


\[ \lim_{4^{n+1} + 5^{n+2a}} \frac{\sqrt{5^n + 3^{n+2}}}{\sqrt{4^{n+1} + 5^{n+2a}}} = \lim_{4 \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^{n} + 5^{2a}} = \lim_{4 \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^{n}} = \frac{1}{\sqrt{5^{2a}}} = \frac{1}{\sqrt{5^{2a}}} \]


Theo đề ta có: \(\lim_{4^{n+1} + 5^{n+2a}} \le \frac{5^n + 3^{n+2}}{4^{n+1} + 5^{n+2a}} \le \frac{\sqrt{5^n + 3^{n+2}}}{\sqrt{4^n + 5^{n+2a}}} \le \frac{1}{125}\)


\[ \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{5^{2a}}} \le \frac{1}{125} \Leftrightarrow \frac{1}{5^{2a}} \le \frac{1}{5^3} \Rightarrow 5^{2a} \ge 5^3 \Rightarrow 2a \ge 3 \Rightarrow a \ge \frac{3}{2} \]


\[ \text{Mà: } \begin{cases} a \in (0; 2025) \\ a \in \mathbb{Z} \end{cases} \Rightarrow a \in \{2; 3; 4; 5; \dots 2024\} \]


Vậy có 2023 giá trị nguyên của a thỏa mãn yêu cầu bài toán

## Câu 38:


Một bạn muốn cải thiện thói quen đọc sách của mình. Tháng đầu tiên bạn đặt mục tiêu đọc được 3

quyền. Mỗi tháng sau sẽ thêm 1 cuốn sách so với tháng trước. Hỏi sau 5 tháng bạn ấy đọc được bao nhiêu quyền sách? (Nhập đáp án vào ô trống)


Đáp án:





Đáp án đúng là "7"


Phương pháp giải


Sử dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng


Lời giải


Tháng đầu tiên đọc được ba quyền, các tháng sau đọc thêm được 1 quyền so với tháng trước nên số sách đọc được là một cấp số cộng với \(u_1 = 3\) và công sai \(d = 1\)


Theo công thức số hạng tổng quát ta có: \(u_n = 3 + (n-1).1 = 2 + n\)


Sau 5 tháng thì số sách bạn đó đọc được là: \(u_5 = 2 + 5 = 7\) quyền sách

Câu 39:


Một đường ống dẫn dầu dài 100 km có tiết diện thay đổi đọc theo chiều dài ống. Vận tốc dòng chảy tại điểm cách đầu ống \(x\) km được mô tả bởi hàm \(v(x) = \frac{300}{1+x^2} (\text{km/h})\). Tiết diện của đường ống cũng thay đổi theo chiều dài và được cho bởi hàm \(A(x) = 0,5 + 0,1\sin(x^2)\). Tính tổng lượng dầu chảy qua đoạn đường ống trong 5h đầu tiên? Tất cả kết quả làm tròn theo quy tắc làm tròn đến hàng đơn vị.

## Câu 40:


Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) có diện tích bằng 20. Đỉnh \(B\) và \(C\) nằm trên đường thẳng: \(x-y-5=0\), điểm \(A(1;-2)\). Đỉnh \(B\) có tọa độ dạng \(B(a,b)\), với \(a>0\). Tính tổng \(a+b\)? (Nhập đáp án vào ô trống)


Đáp án:





## Đáp án đúng là "19"


### Phương pháp giải


Từ diện tích tam giác \(ABC\) ta xác định được độ dài \(BC \Rightarrow B,C\) là giao điểm của đường thẳng chứa \(B,C\) và đường tròn tâm \(A\), bán kính \(AB = AC\)


### Lời giải


\[Khoảng cách từ \(A\) đến đường thẳng \(BC\) là: d(A,BC) = \frac{|1+2-5|}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}\]


\[\Rightarrow S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} d(A,BC).BC \Rightarrow BC = \frac{2S}{d(A,BC)} = \frac{2.20}{\sqrt{2}} = 20\sqrt{2}\]


\[\text{Vì } \Delta ABC \text{ cân tại } A \Rightarrow AB = AC = \sqrt{(d(A,BC))^2 + \left(\frac{BC}{2}\right)^2} = \sqrt{2+200} = \sqrt{202}\]


Phương trình đường tròn tâm \(A\) bán kính là \(AB\) là: \((x-1)^2 + (y+2)^2 = 202\)


Tọa độ \(B,C\) là giao điểm của đường thẳng \(x-y-5=0\) và đường tròn \((x-1)^2 + (y+2)^2 = 202\)

Vì B nằm trên đường thẳng: \(x - y - 5 = 0 \Rightarrow a - b - 5 = 0 \Rightarrow a = b + 5\)


B nằm trên đường tròn \((x-1)^2 + (y+2)^2 = 202 \Rightarrow (a-1)^2 + (b+2)^2 = 202\)


Thay \(a = b + 5\) vào phương trình \((a-1)^2 + (b+2)^2 = 202\) ta được:


\[ (b+5-1)^2 + (b+2)^2 = 202 \Leftrightarrow 2b^2 + 12b - 182 = 0 \Leftrightarrow \begin{cases} b = 7 \\ b = -13 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} b = 7 \Rightarrow a = 12 \\ b = -13 \Rightarrow a = -8 < 0(L) \end{cases} \]


Vậy điểm \(B(12;7)\)


Tổng \(a+b=19\)

## Câu 41:


Xác định hệ số của \(x^{26}\) trong khai triển \(\left(x^3 - \frac{2}{x}\right)^{10}\)?

## Câu 42:


Một cửa hàng bán hoa có 4 loại hoa hồng: hoa hồng trắng 30 bông, hoa hồng xanh có 40 bông, hoa hồng đỏ 20 bông, hoa hồng cam có 30 bông. Người ta muốn xếp các loại hoa lại với nhau để bỏ thành các bó hoa hồng mỗi bó có 15 bông hoa hồng. Cửa hàng cần bó 7 bó hoa theo đơn hàng. Có bao nhiêu cách chọn hoa để bó hoa có đúng 5 bông hồng xanh và trong mỗi bó hoa đều có các màu hoa trắng, hồng, cam? Biết rằng các bông hoa mỗi loại là giống nhau.

### Câu 43:


Có một tòa nhà với chiều cao chưa biết, nhưng từ một điểm quan sát cách chân tòa nhà một khoảng cách \(d = 50\) m người quan sát thấy góc giữa mặt đất và đường nhìn lên đỉnh tòa nhà là \(60^\circ\). Sau đó, người quan sát di chuyển ra xa một khoảng cách \(x(m)\), và khi nhìn lên đỉnh tòa nhà, góc nhìn thay đổi còn \(45^\circ\). Tính khoảng cách từ điểm nhìn mới đến chân tòa nhà.

## Câu 44:


Biết \(F(x)\) là một họ nguyên hàm của \(f(x) = \frac{x}{(x+1)^3}\) và \(F(0) = \frac{1}{2}\). Khi đó \(F(1) + F(2)\) bằng bao nhiêu? (Nhập đáp án vào ô trống)


Đáp án:


Đáp án đúng là "9/4"


Phương pháp giải


Tính nguyên hàm


Lời giải


Ta có:


\[ F(x) = \int \frac{x}{(x+1)^3} dx = \int \frac{x+1-1}{(x+1)^3} dx = \int \left(\frac{1}{(x+1)^2} - \frac{1}{(x+1)^3}\right) dx = -\frac{1}{x+1} + \frac{1}{2(x+1)^2} + C \]


\[ \text{Mà } F(0) = \frac{1}{2} \Rightarrow -\frac{1}{2} + C = \frac{1}{2} \Rightarrow C = 1 \]

\[
Khi đó: F(x) = \frac{-1}{x+1} + \frac{1}{2(x+1)^2} + 1 \Rightarrow F(1) + F(2) = \frac{5}{8} + \frac{13}{8} = \frac{9}{4}
\]

Câu 45:


Cho hàm số \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 1\) và \(g(x) = f(|f(x)| - m)\) cùng với \(x = -1; x = 1\) là hai điểm cực trị trong nhiều điểm cực trị của hàm số \(y = g(x)\). Khi đó số điểm cực trị của hàm \(y = g(x)\) là:

## Câu 46:


Các nhà kinh tế sử dụng đường cong Lorenz để minh họa sự phân phối thu nhập trong một quốc gia. Gọi \(x\) đại diện cho phần trăm số gia đình trong một quốc gia và \(y\) là phần trăm tổng thu nhập, mô hình \(y = x\) sẽ đại diện cho một quốc gia mà các gia đình có thu nhập như nhau. Đường cong Lorenz \(y = f(x)\) biểu thị sự phân phối thu nhập thực tế. Diện tích giữa hai mô hình này, với \(0 \le x \le 100\), biểu thị "sự bất bình đẳng về thu nhập" của một quốc gia. Năm 2005, đường cong Lorenz của Hoa Kỳ có thể được mô hình hóa bởi hàm số: \(y = (0,00061x^2 + 0,0218x + 1723)^2\), \(0 \le x \le 100\). Trong đó \(x\) được tính từ các gia đình nghèo nhất đến giàu có nhất (theo R.Larson, Brief Calculus: An Applied Approach, 8th edition, Cengage Learning, 2009). Tìm sự bất bình đẳng thu nhập của Hoa Kỳ năm 2005?

## Câu 47:


Trong không gian \(Oxyz\) cho mặt cầu \((S): (x-1)^2 + (y-1)^2 + z^2 = 9\) và mặt phẳng \((P): 2x - 2y + z - 20 = 0\). Gọi \(M_1(x_1; y_1; z_1)\), \(M_2(x_2; y_2; z_2)\) là hai điểm thuộc \((S)\) sao cho \(d(M_1; (P))\) đạt giá trị lớn nhất và \(d(M_2; (P))\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tính \(T = x_1 + x_2 + y_1 + y_2 + z_1 + z_2\)?

## Câu 48:


Cho hàm số \(y = \frac{x^2 - 3x + m}{x - 4}\) với \(m \in \mathbb{R}\). Có mấy giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số đạt cực đại tại \(x = 3\)

Câu 49:


Có bao nhiêu số tự nhiên \(n\) sao cho \(1! + 2! + 3! + \dots + n!\) là số chính phương

Câu 50:


Cho \(f(x)\) là hàm đa thức và cho hàm đa thức bậc ba \(g(x) = f(x+1)\) thỏa mãn \((x-1)g'(x+3) = (x+1)g'(x+2)\). Số điểm cực trị của hàm số \(y = f(2x^2 - 4x + 5)\) là?