Câu 1:


Cho hàm số \(y = 2x^3 + ax^2 - bx + c\) có đồ thị \((C)\). Biết rằng tiếp tuyến \(d\) của \((C)\) tại điểm có hoành độ -1 cắt \((C)\) tại điểm có hoành độ 2 (xem hình vẽ). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(d\) và \((C)\) (phần gạch chéo trong hình) bằng


## Câu 2:


Trong hệ trục tọa độ \(Oxyz\) cho trước (đơn vị trên hệ trục tọa độ là mét), một trạm thu phát sóng 5G có bán kính vùng phủ sóng của trạm ở ngưỡng 1000 m được đặt ở vị trí \(I(100;50;550)\). Gọi \(a,b\) lần lượt là giá trị nguyên lớn nhất và giá trị nguyên nhỏ nhất của \(m\) để một người dùng điện thoại ở vị trí \(M(m-120;m+80;m)\) có thể sử dụng dịch vụ của trạm nói trên. Tính \(P=a+2b\).

## Câu 3:

Có bao nhiêu giá trị nguyên \(m > -50\) để đồ thị hàm số \(y = \frac{\sqrt{x+7}}{x^2 + 2x + 2m}\) có đúng hai đường tiệm cận?

## Câu 4:


Cho tập \(A = \{x | x \in \mathbb{N}, 10 \leq x \leq 50\}\). Lấy ngẫu nhiên 3 số từ tập hợp \(A\), xác suất để ba số lấy được lập thành cấp số cộng là

Câu 5:


Cho hàm số \(y = f(x)\) có bảng biến thiên như sau





Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là


Đáp án:





Đáp án đúng là "3"


Phương pháp giải


Sử dụng kiến thức về tiệm cận của đồ thị hàm số.


Lời giải


\[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} f(x) = 0 \text{ nên } y = 0 \text{ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.} \]


\[ \lim_{x \to -3^+} f(x) = -\infty; \lim_{x \to 3^-} f(x) = +\infty \text{ nên } x = 3; x = -3 \text{ là các đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.} \]


Vậy đồ thị hàm số có tổng 3 đường tiệm cận ngang và đứng.

Câu 6:


Cho hàm số \(y = x^4 - 2(m-3)x^2 + 2m-1\). Có bao nhiêu giá trị nguyên \(m \in [-2025; 2025]\) để hàm số đã cho có ba điểm cực trị và các cực trị đều mang giá trị âm?

## Câu 7:


Một khối lập phương có độ dài cạnh 2 cm là được chia thành 8 khối lập phương cạnh 1 cm. Hỏi có bao nhiêu tam giác được tạo thành từ các đỉnh của khối lập phương cạnh 1 cm?

Câu 8:


Phương trình \(\log_4(x+1)^2 + 2 = \log_{\sqrt{2}} \sqrt{4-x} + \log_8(4+x)^3\) có bao nhiêu nghiệm?

## Câu 9:


Cho hàm số \(y=f(x)\) có bảng biến thiên như sau. Hỏi mệnh đề nào sau đây đúng?


### Câu 10:

Giá dầu hôm nay là 81 USD. Giả sử giá dầu ngày mai giảm 10% và ngày kia tăng 10% (sự thay đổi tính theo giá dầu của ngày hôm trước đó). Hỏi giá dầu thô của ngày kia là bao nhiêu?

Câu 11:


Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(F(x; y) = x - 2y\), với điều kiện \(\begin{cases} 0 \le y \le 5 \\ x \ge 0 \\ x + y - 2 \ge 0 \\ x - y - 2 \le 0 \end{cases}\) là


Đáp án:


Đáp án đúng là "-10"


Phương pháp giải


GTLN, GTNN của biểu thức giới hạn bởi miền nghiệm của hệ BPT bậc nhất hai ẩn là ở một trong các đỉnh của đa giác miền nghiệm.


Lời giải




Vẽ các đường thẳng \(d_1: y = 5; d_2: x + y - 2 = 0; d_3: x - y - 2 = 0; Ox: y = 0; Oy: x = 0\).


Các đường thẳng trên đôi một cắt nhau tại \(A(0;5), B(0;2), C(2;0), D(7;5)\)


Vì điểm \(M_0(2;1)\) có toạ độ thoả mãn tất cả các bất pt trong hệ nên ta tô đậm các nửa mặt phẳng bờ \(d_1, d_2, d_3, Ox, Oy\) không chứa điểm \(M_0\). Miền không bị tô đậm là đa giác \(ABCD\) kể cả các cạnh là miền nghiệm của hệ pt đã cho.


Kí hiệu \(F(A) = F(x_A; y_A) = x_A - 2y_A\), ta có


\[F(A) = -10, F(B) = -4, F(C) = 2; F(D) = -3, -10 < -4 < -3 < 2.\]


Giá trị nhỏ nhất cần tìm là -10.

## Câu 12:


Tìm giá trị thực của tham số \(m\) để đường thẳng \(d: y = (2m-1)x + 3 + m\) vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y = x^3 - 3x^2 + 1\). (Kết quả điền dưới dạng số thập phân)


Đáp án:





Đáp án đúng là "0,75"


Phương pháp giải


Tìm phương trình đi qua 2 điểm cực trị của hàm số rồi biện luận.

## Lời giải


Ta có \(y' = 3x^2 - 6x\). Từ đó ta có tọa độ hai điểm cực trị \(A(0;1), B(2;-3)\). Đường thẳng qua hai điểm cực trị có phương trình \(y = -2x+1\). Đường thẳng này vuông góc với đường thẳng \(y = (2m-1)x+3+m\) khi và chỉ khi \((2m-1)(-2) = -1 \Leftrightarrow m = \frac{3}{4} = 0,75\).

## Câu 13:


Tập xác định của hàm số \(f(x) = \log_4 \left( \log_5 \left( \log_3 \left( x - \frac{x^2}{324} - 77 \right) \right) \right)\) chứa bao nhiêu phần tử nguyên?

## Câu 14:


Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật cạnh \(AB = 2AD = 2a\). Tam giác \(SAB\) đều và nằm

trong mặt phẳng vuông góc với đáy (ABCD). Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD).

## Câu 15:


Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm \(f'(x)\) có đồ thị như hình vẽ bên.





Số điểm cực đại của hàm số \(g(x) = f(x) - \frac{1}{9}x^3\) là

### Câu 16:


Xác suất để một thí sinh lọt qua cả ba vòng là

## Câu 17:


Xác suất để một thí sinh bị loại ở vòng 2 nếu biết rằng thí sinh đó bị loại là

Câu 18:


Tìm họ nguyên hàm của hàm số \(y = x^2 - 3^x + \frac{1}{x}\).

Câu 19:


Tìm số điểm cực trị của hàm số \(f(x)\) trên \([0; 4\pi]\) biết rằng \(f'(x) = (e^x - 3)(\sin 2x - 1)\).


Đáp án:


Đáp án đúng là "5"


Phương pháp giải


Sử dụng kiến thức về cực trị hàm số.


Lời giải


\[ f'(x) = 0 \Leftrightarrow (e^x - 3)(\sin 2x - 1) = 0 \Leftrightarrow \begin{cases} x = \ln 3 \\ 2x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = \ln 3 \\ x = \frac{\pi}{4} + k\pi \end{cases} \]


\[ \text{Mà } x \in [0; 4\pi] \text{ (2 vòng tròn lượng giác) suy ra } x \in \left\{\ln 3; \frac{\pi}{4}; \frac{5\pi}{4}; \frac{9\pi}{4}; \frac{15\pi}{4}\right\}. \]


Vậy có 5 điểm cực trị.

Câu 20:

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(B, AB = a, SA \perp (ABC)\), và \(SA = a\sqrt{3}\).
Thì số đo theo đơn vị độ của góc nhị diện \([B, SA, C]\) bằng bao nhiêu độ?


Đáp án: ______ độ


Đáp án đúng là "45"


Phương pháp giải


Sử dụng kiến thức về xác định góc nhị diện.


Lời giải


Vì \(SA \perp (ABC)\) nên \(SA \perp AB, SA \perp AC\). Do đó, góc \(\widehat{BAC}\) là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện \([B, SA, C]\). Do tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(B\) nên \(\widehat{BAC} = 45^\circ\). Vậy số đo của góc nhị diện \([B, SA, C]\) bằng \(45^\circ\).

Câu 21:


Cho hàm số \(y = f(x)\) có \(f(0) = 0\) và \(f'(x) = \sin^8 x - \cos^8 x - 4\sin^6 x, \forall x \in \mathbb{R}\). Tính \(I = \int_{0}^{\pi} 16f(x)dx\).

Câu 22:


Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị \(y = 2x - x^2\) và trục hoành. Tính thể tích \(V\) vật thể tròn xoay sinh ra khi cho (H) quay quanh Ox.


A. \(V = \frac{4}{3}\pi\) B. \(V = \frac{16}{15}\pi\) C. \(V = \frac{16}{15}\) D. \(V = \frac{4}{3}\)


Đáp án đúng là B


Phương pháp giải


Sử dụng ứng dụng tích phân tính thể tích khối tròn xoay.


Lời giải


Phương trình hoành độ giao điểm của (H) với trục hoành: \(2x - x^2 = 0 \Leftrightarrow \begin{cases} x_1 = 2 \\ x_2 = 0 \end{cases}\)


Vậy thể tích khối tròn xoay sinh ra do (H) quay quanh Ox là:


\[
V = \pi \int_{0}^{2} (2x - x^2)^2 \, dx = \pi \int_{0}^{2} (4x^2 - 4x^3 + x^4) \, dx = \pi \left( \frac{4}{3} x^3 - x^4 + \frac{x^5}{5} \right) \bigg|_{0}^{2} = \frac{16}{15} \pi .
\]

Câu 23:


Hai chiếc tàu thuỷ cùng xuất phát từ vị trí A, đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau một góc 60°. Tàu
B chạy với tốc độ 50 km/h, tàu C với tốc độ 20 km/h. Hỏi sau 2 giờ hai tàu cách nhau bao nhiêu

km?


Câu 24:


Kết quả khảo sát thời gian sử dụng liên tục (đơn vị: giờ) từ lúc sạc đầy cho đến khi hết của pin một số máy vi tính cùng loại được mô tả bằng biểu đồ sau




Hãy xác định độ lệch chuẩn của thời gian sử dụng pin (kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 25:


Cho hàm số \(f(x) = \frac{mx - 4}{x - m}\) (\(m\) là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) để hàm số đã

cho đồng biến trên khoảng \((0; +\infty)\)?


Đáp án:


Đáp án đúng là "2"


Phương pháp giải


Hàm số đồng biến trên \((0; +\infty)\) khi và chỉ khi \(f'(x) > 0 \forall x \in (0; +\infty)\).


Lời giải


Tập xác định \(D = \mathbb{R} \setminus \{m\}\). Đạo hàm \(f'(x) = \frac{-m^2 + 4}{(x - m)^2}\).


Hàm số đồng biến trên \((0; +\infty)\) khi và chỉ khi


\[f'(x) > 0 \forall x \in (0; +\infty)\]


\[\Leftrightarrow \begin{cases} -m^2 + 4 > 0 \\ m \notin (0; +\infty) \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} -2 < m < 2 \\ m \le 0 \end{cases} \Leftrightarrow -2 < m \le 0.\]


Do \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m = \{-1; 0\}\). Vậy có hai giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn đề bài.

Câu 26:


Cho hàm số \(y = \cos 3x \sin 2x\). Tính \(y' \left( \frac{\pi}{3} \right)\).


Đáp án:


Đáp án đúng là "1"


Phương pháp giải


Tính đạo hàm của hàm số rồi thay \(x = \frac{\pi}{3}\).


Lời giải


\[Ta có y' = (\cos 3x)' \sin 2x + \cos 3x (\sin 2x)'\]


\[= -3 \sin 3x \sin 2x + 2 \cos 3x \cos 2x.\]


\[Do đó y' \left( \frac{\pi}{3} \right) = -3 \sin \pi \sin \frac{2\pi}{3} + 2 \cos \pi \cos \frac{2\pi}{3} = 1.\]

Câu 27:


Cho một cấp số cộng \((u_n)\) có \(u_1 = \frac{1}{3}\), \(u_8 = 26\). Tìm công sai \(d\).

Câu 28:


Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \((P): 2x-y+2z+3=0\) và hai đường thẳng \(d_1: \frac{x}{3} = \frac{y-1}{-1} = \frac{z+1}{1}; d_2: \frac{x-2}{1} = \frac{y-1}{-2} = \frac{z+3}{1}\). Xét các điểm \(A, B\) lần lượt di động trên \(d_1\) và \(d_2\) sao cho \(AB\) song song với mặt phẳng \((P)\). Tập hợp trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) là

## Câu 29:


Trong không gian \(Oxyz\) cho mặt cầu \((S): x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 4y - 6z - 2 = 0\) và mặt phẳng \((\alpha): 4x + 3y - 12z + 10 = 0\). Lập phương trình mặt phẳng \((\beta)\) thỏa mãn đồng thời các điều kiện: Tiếp xúc với \((S)\); song song với \((\alpha)\) và cắt trục \(Oz\) ở điểm có cao độ dương. Gọi phương trình mặt phẳng \((\beta)\) là \(Ax + By + Cz + D = 0\), tính tổng \(A + B + C + D\).

## Câu 30:


Khảo sát thời gian tự học của một số học sinh khối 11 thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:

Thời gian (phút)	[0; 20)	[20; 40)	[40; 60)	[60; 80)	[80; 100)
Số học sinh	5	9	12	10	6

Mốt của mẫu số liệu trên là

## Câu 31:


Để đánh giá kết quả của một đề tài sau khi áp dụng vào thực tiễn dạy học người ta thực nghiệm bằng cách ra đề kiểm tra một tiết cho ba lớp 12A, 12B và 12C. Kết quả điểm của học sinh ba lớp như sau:

Lớp 12A	Điểm	[5; 6)	[6; 7)	[7; 8)	[8; 10]
	Số học sinh	9	14	12	5

Lớp 12B	Điểm	[5;6)	[6;7)	[7;8)	[8;10]
	Số học sinh	12	16	8	3
Lớp 12C	Điểm	[5;6)	[6;7)	[7;8)	[8;10]
	Số học sinh	15	17	5	1

Lớp nào có tỉ lệ học sinh đạt điểm giỏi cao nhất?

### Câu 32:


Chị Lan cần 4000 USD để đi du lịch châu Âu. Để sau 4 năm thực hiện được ý định thì hàng tháng chị Lan phải gửi tiết kiệm bao nhiêu USD (làm tròn đến hàng đơn vị)? Biết lãi suất 0,83% một tháng.


Đáp án: USD


### Đáp án đúng là “68”


### Phương pháp giải


Xây dựng công thức tính số tiền cần gửi theo số tháng.

Lời giải


Xây dựng công thức:


Đầu mỗi tháng khách hàng gửi vào ngân hàng số tiền \(A\), với lãi kép r%/tháng thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau \(n\) tháng (\(n \in \mathbb{N}^*\)) (nhận tiền cuối tháng, khi ngân hàng đã tính lãi) là \(S_n\).


Cuối tháng thứ nhất, khi ngân hàng đã tính lãi thì số tiền có được là


\[S_1 = A(1+r) = \frac{A}{r} [(1+r)^1 - 1](1+r)\]


Đầu tháng thứ hai, khi đã gửi thêm số tiền \(A\) thì số tiền là


\[T_1 = A(1+r) + A = A[(1+r)+1] = A \cdot \frac{[(1+r)^2 - 1]}{(1+r)-1} = \frac{A}{r} [(1+r)^2 - 1]\]


Cuối tháng thứ hai, khi ngân hàng đã tính lãi thì số tiền có được là:


\[S_2 = \frac{A}{r} [(1+r)^2 - 1](1+r)\]


....


Từ đó ta có công thức tổng quát:


\[S_n = \frac{A}{r} [(1+r)^n - 1](1+r) = \frac{A}{r} [(1+r)^{n+1} - (1+r)]\]


\[\Rightarrow A = \frac{S_n r}{(1+r) [(1+r)^n - 1]} = \frac{S_n r}{(1+r)^{n+1} - (1+r)} (*)\]


Áp dụng:


Đổi: 4 năm = 12.4 = 48 tháng.


Áp dụng công thức (*) ta có:


\[A = \frac{4000.0.0083}{(1+0.0083)^{49} - (1+0.0083)} \approx 67,6 \text{ (USD)}\]


Do đó, mỗi tháng chỉ Lan phải gửi 68 USD

Câu 33:


Cho hai biến cố \(A\) và \(B\) với \(P(A) > 0, P(B) > 0\). Cho các khẳng định sau:

\[(1) P(A \cap B) + P(A \cap \bar{B}) = P(A) \bar{B}\]


\[(2) P(B|A) = \frac{P(B).P(A|B)}{P(A)}\]


\[(3) P(B|A) = \frac{P(B).P(A|B)}{P(B).P(A|B) + P(\bar{B}).P(A|\bar{B})}\]


\[(4) P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap \bar{B}) = P(B).P(A|B) + P(\bar{B}).P(A|\bar{B})\]


(5) Cho hai biến cố \(A\) và \(B\), với \(P(B) = 0,8, P(A|B) = 0,7, P(A|\bar{B}) = 0,45\). Khi đó \(P(A) = 0,5\)
Trong các khẳng định trên có bao nhiêu khẳng định đúng?


Đáp án:


Đáp án đúng là "4"


Phương pháp giải


Lời giải


Các khẳng định (1) (2) (3) (4) là các khẳng định đúng


Khẳng định (5) sai.


Thật vậy, ta có \(P(\bar{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0,8 = 0,2\)


Áp dụng công thức xác suất toàn phần


\[P(A) = P(B).P(A|B) + P(\bar{B}).P(A|\bar{\bar{B}}) = 0,8,0,7 + 0,2,0,45 = 0,65\]

Câu 34:


Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d: \frac{x-2}{2} = \frac{y}{-1} = \frac{z}{4}\) và mặt cầu \((S)\) có phương trình \(x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 4y - 2z + 4 = 0\). Hai mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\) chứa \(d\) và tiếp xúc với \((S)\). Gọi \(M, N\) là tiếp điểm. \(H(a;b;c)\) là trung điểm của \(MN\). Khi đó \(a+b+2c\) bằng bao nhiêu?


Đáp án:


Đáp án đúng là "4"

<	ref	>text<	/ref	><	det	>[1]

Sử dụng kiến thức về tương giao giữa mặt cầu với mặt phẳng, đường thẳng.


Lời giải





Mặt cầu (S) có tâm \(I(1;2;1)\) bán kính \(r = \sqrt{2}\). Gọi \(K = d \cap (IMN)\), ta có \(K\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) trên \(d\). Ta có \(K(2;0;0)\), \(IK = \sqrt{6}\) và \(\overline{IK} = (1;-2;-1)\).


Khi đó \(\frac{IH}{IK} = \frac{IH.IK}{IK^2} = \frac{R^2}{IK^2} = \frac{1}{3}\) suy ra \(\overline{IH} = \frac{1}{3}\overline{IK}\) và \(H\left(\frac{4}{3};\frac{4}{3};\frac{2}{3}\right)\).


Vậy \(a+b+2c = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} + 2.\frac{2}{3} = 4\).

Câu 35:


Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có \(A(-3;0)\), \(B(3;0)\) và \(C(2;6)\). Gọi \(H(a;b)\) là trực tâm của tam giác đã cho. Tính \(a-6b\).

## Câu 36:


Ba người cùng bắn vào 1 bia. Xác suất bắn trúng đích của người thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần lượt là 0,9; 0,5; 0,6. Tính xác suất để có đúng 1 người bắn trúng đích.

## Câu 37:


Cho hàm số \(f(x)\), đồ thị của hàm số \(y = f'(x)\) là đường cong như hình vẽ.




Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(g(x) = f(2x+1) - 4x - 3\) trên đoạn \(\left[-\frac{3}{2}; 1\right]\) bằng

## Câu 38:


Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(a, O\) là tâm của mặt đáy. Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SO\) và \(CD\) bằng

## Câu 39:


Ký hiệu \(|X|\) là số phần tử của tập hợp \(X\). Mệnh đề nào sai trong các mệnh đề sau?

### Câu 40:


Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Xác định các điểm \(M, N\) tương ứng trên các đoạn \(AC', B'D'\) sao cho \(MN\) song song với \(BA'\) và tính tỉ số \(\frac{MA}{MC'}\).


### Đáp án:





### Đáp án đúng là "2"


### Phương pháp giải


Sử dụng kiến thức về phép chiếu song song.


### Lời giải

Xét phép chiếu song song lên (A'B'C'D') theo phương chiếu BA'.


Ta có N là ảnh của M hay M chính là giao điểm của B'D' và ảnh AC' qua phép chiếu này.


Do đó ta xác định M, N như sau: Trên A'B' kéo dài lấy điểm K sao cho A'K = B'A' thì ABA'K là hình bình hành nên AK / BA' suy ra K là ảnh của A trên AC' qua phép chiếu song song.


Gọi N = B'D' ∩ KC'.


Đường thẳng qua N và song song với AK cắt AC' tại M.


Ta có M, N là các điểm cần xác định.


\[ \text{Theo định lí Thales, ta có} \frac{MA}{MC'} = \frac{NK}{NC'} = \frac{KB'}{C'D'} = 2. \]

## Câu 41:


Biết có hai giá trị \(m_1, m_2\) để phương trình có \(m(x^2 - x) + x + 5 = 0\) hai nghiệm phân biệt \(x_1, x_2\) thỏa mãn \(\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = \frac{4}{5}\). Giá trị của \(\frac{m_1}{m_2} + \frac{m_2}{m_1}\) bằng bao nhiêu?


Đáp án:





Đáp án đúng là "255"


Phương pháp giải


Sử dụng hệ thức Vi - et.


Lời giải


Phương trình \(m(x^2 - x) + x + 5 = 0 \Leftrightarrow mx^2 + (1-m)x + 5 = 0\) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:


\[ \begin{cases} m \neq 0 \\ \Delta = (1-m)^2 - 4m.5 > 0 \end{cases} \]


\[ \Leftrightarrow \begin{cases} m \neq 0 \\ m^2 - 22m + 1 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m \neq 0 \\ m > 11 + 2\sqrt{30} \quad (*) \\ m < 11 - 2\sqrt{30} \end{cases} \]


\[ \text{Khi đó, áp dụng hệ thức Vi - ét ta có:} \begin{cases} x_1 + x_2 = \frac{m-1}{m} \\ x_1.x_2 = \frac{5}{m} \end{cases} \]

\[ \text{Ta có: } \frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = \frac{4}{5} \]


\[ \Leftrightarrow \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1 \cdot x_2} = \frac{4}{5} \]


\[ \Leftrightarrow \frac{(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2}{x_1 \cdot x_2} = \frac{4}{5} = \frac{4}{5} \]


\[ \Leftrightarrow \frac{(x_1 + x_2)^2}{x_1 \cdot x_2} - 2 = \frac{4}{5} \]


\[ \Leftrightarrow \frac{(x_1 + x_2)^2}{\frac{x_1 \cdot x_2}{5}} = \frac{14}{5} \]


\[ \Leftrightarrow \frac{\left(\frac{m-1}{m}\right)^2}{\frac{5}{m}} = \frac{14}{5} \]


\[ \Leftrightarrow \frac{m^2 - 2m + 1}{m^2} = \frac{14}{m} \]


\[ \Leftrightarrow m^2 - 2m + 1 = 14m \]


\[ \Leftrightarrow m^2 - 16m + 1 = 0 \quad (1) \]


Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \(m_1, m_2\); theo Vi-et ta có
\[ \begin{cases} m_1 + m_2 = 16 \\ m_1 \cdot m_2 = 1 \end{cases} \]


\[ \text{Vậy } \frac{m_1}{m_2} + \frac{m_2}{m_1} = \frac{(m_1 + m_2)^2}{m_1 \cdot m_2} - 2 = \frac{16^2}{1} - 2 = 255 \]

## Câu 42:


Số giờ có ánh sáng mặt trời của một địa phương năm không nhuận được cho bởi
\[ y = 4 \sin \left( \frac{\pi}{178} (x - 60) \right) + 10 \]
với \(1 \leq x \leq 365\) là số ngày trong năm. Ngày 25/5/2025 thì số giờ có ánh sáng mặt trời của địa phương này gần với con số nào nhất?

Câu 43:


Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên dưới.





Đặt \(g(x) = f[f(x)]\). Tìm số nghiệm của phương trình \(g'(x) = 0\).

Câu 44:


Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\) cho ba điểm \(M(2;3;-1)\), \(N(-1;1;1)\) và \(P(1;m-1;2)\). Tìm \(m\) để tam giác \(MNP\) vuông tại \(N\).

Câu 45:


Cho hàm số \(y = \begin{cases} \frac{x^2 - 7x + 12}{x-3} & \text{khi } x \neq 3 \\ -1 & \text{khi } x = 3 \end{cases}\)


Mệnh đề nào sau đây đúng?

## Câu 46:


Trong các công thức sau, công thức nào sai?

## Câu 47:


Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(A(1;0;0)\), \(B(0;0;2)\) và mặt cầu \((S): x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 2y + 1 = 0\). Số mặt phẳng chứa hai điểm \(A, B\) và tiếp xúc với mặt cầu \((S)\) là

## Câu 48:


Tại một nơi không có gió, một chiếc khí cầu đang đứng yên ở độ cao 162 (mét) so với mặt đất đã được phi công cài đặt cho nó chế độ chuyển động đi xuống. Biết rằng, khí cầu đã chuyển động theo phương thẳng đứng với vận tốc tuân theo quy luật \(v(t) = 10t - t^2\), trong đó \(t\) (phút) là thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động, \(v(t)\) được tính theo đơn vị mét/phút (m/p). Nếu như vậy thì khi bắt đầu tiếp đất vận tốc \(v\) của khí cầu là


Đáp án: ______ m/p


Đáp án đúng là "9"


Phương pháp giải


\[s(t) = \int_0^t v(t) dt\]


## Lời giải


Khi bắt đầu tiếp đất vật chuyển động được quãng đường là \(s = 162\) m


\[Ta có: s = \int_0^t (10t - t^2) dt = \left( 5t^2 - \frac{t^3}{3} \right)_0^t = 5t^2 - \frac{t^3}{3} \quad (\text{trong đó } t \text{ là thời điểm vật tiếp đất})\]


\[Cho \ 5t^2 - \frac{t^3}{3} = 162 \Rightarrow t = 9 \quad (\text{Do } v(t) = 10t - t^2 \Rightarrow 0 \leq t \leq 10)\]


Khi đó vận tốc của vật là: \(v(9) = 10.9 - 9^2 = 9 (m/p)\).

## Câu 49:


Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) có \(BC + CA = 22\) cm. Khi diện tích tam giác \(ABC\) đạt giá trị lớn

nhất thì \(\cos^2 C\) bằng bao nhiêu?


Đáp án: ______


Đáp án đúng là "3"


Phương pháp giải


Đưa diện tích tam giác \(ABC\) về dạng hàm số một ẩn. Ứng dụng min max của hàm số.


Lời giải





Đặt \(BC = x(0 < x < 11)\)


Ta có \(BC + CA = 22 \Rightarrow CA = 22 - BC = 22 - x\)


Xét tam giác vuông tại \(B\), theo Pytago ta có:


\[AB^2 = AC^2 - BC^2 = (22 - x)^2 - x^2 = -44x + 484.\]


Suy ra \(AB = \sqrt{-44x + 484}\)


Diện tích tam giác ABC là \(S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{-44x + 484} \cdot x = f(x)\)


\[Ta có f'(x) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{-44x + 484} + \frac{-44}{2\sqrt{-44x + 484}} \cdot \frac{1}{2} x = \frac{-44x + 484 - 22x}{2\sqrt{-44x + 484}} = \frac{-33x + 242}{\sqrt{-44x + 484}}\]


\[Xét f'(x) = 0 \Leftrightarrow -33x + 242 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{22}{3}\]


Ta có bảng biến thiên của \(f(x)\) như sau:

x	0	22 3	11
f'(x)	+	0	-
f(x)		max f(x)
	0		0

Dựa vào bảo biến thiên ta thấy \(f(x)\) đạt giá trị lớn nhất khi \(x = \frac{22}{3}\).


Tức là diện tích tích tam giác \(ABC\) đạt giá trị lớn nhất khi \(BC = \frac{22}{3}\).


\[Khi đó AB = \sqrt{-44x + 484} = \sqrt{-44 \cdot \frac{22}{3} + 484} = \frac{22\sqrt{3}}{3}\]


\[\Rightarrow \cos^2 C = \left(\frac{AB}{BC}\right)^2 = \left(\frac{\frac{22\sqrt{3}}{3}}{\frac{22}{3}}\right)^2 = 3.\]

## Câu 50:


Cho dãy số \((u_n)\): \(\begin{cases} u_1 = 1 \\ u_n = 3u_{n-1} + 5 \end{cases}\) có công thức tổng quát là \(u_n = \frac{a}{b} \cdot 3^{n-1} - \frac{c}{d}\) (trong đó \(\frac{a}{b}, \frac{c}{d}\) là các phân số tối giản. Tính tổng \(a + b + c + d\).


## Đáp án:


### Đáp án đúng là "16"


### Phương pháp giải


Tìm công thức tổng quát của \((u_n)\)


### Lời giải


Đặt dãy số \((v_n)\) với \(v_n = u_n + \frac{5}{2} \Leftrightarrow u_n = v_n - \frac{5}{2}\)

\[
Khi đó ta có: \left( v_n \right): \begin{cases} v_1 = u_1 + \frac{5}{2} \\ v_n - \frac{5}{2} = 3 \cdot \left( v_{n-1} - \frac{5}{2} \right) + 5 \end{cases}
\]


\[
\Leftrightarrow \left( v_n \right): \begin{cases} v_1 = \frac{7}{2} \\ v_n = 3 \cdot v_{n-1} \end{cases}
\]


\(\Rightarrow (v_n)\) là cấp số nhân có số hạng đầu là \(v_1 = \frac{7}{2}\) và công bội \(q = 3\)


\[
\Rightarrow (v_n) \text{ có số hạng tổng quát là } v_n = \frac{7}{2} \cdot 3^{n-1}
\]


\[
\text{Suy ra } u_n = v_n - \frac{5}{2} = \frac{7}{2} \cdot 3^{n-1} - \frac{5}{2}
\]


\[
Vậy a + b + c + d = 7 + 2 + 5 + 2 = 16.
\]


---