Đề đánh giá năng lực HSA Toán học số 36 - Làm bài thi

1

Câu 1:

Cho hàm số: \(y = \frac{\sqrt{x^2 - 3x + 2}}{x - 5}\). Tổng số tiệm cận của hàm số đã cho là:

A. 2

B. 3

C. 4

D. 1. Đáp án đúng là B Phương pháp giải Dùng giới hạn để xác định số tiệm cận của đồ thị hàm số Lời giải Tập xác định: \(D = (-\infty; 1] \cup [2; +\infty)\) Tiệm cận ngang: \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x^2 - 3x + 2}}{x - 5} = \lim_{x \to +\infty} \frac{|x| \sqrt{1 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2}}}{x \left(1 - \frac{5}{x}\right)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{1 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^3}}}{x \left(1 - \frac{5}{x}\right)} = 1 \] \(\Rightarrow y = 1\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \[ \lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{x^2 - 3x + 2}}{x -5} = \lim_{x \to -\infty} \frac{|x| \sqrt{1 - \frac{3}{x} - \frac{2}{x^2}}}{x \left(1 - \frac{5}{\frac{x}{x}}\right)} = \lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{1 - \frac{3}{x} + \frac{-2}{x^2}}}{x \left(1 - \frac{5}{x}\frac{x}{x}\right)} = -1 \] \(\Rightarrow y = -1\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số Tiệm cận đứng: \[ \lim_{x \to 5^+} \frac{\sqrt{x^2 - 3x + 2}}{x - 1} = +\infty \] \[ \lim_{x \to 5^-} \frac{\sqrt{x^2 - 3x + 2}}{x - 0} = -\infty \] \(\Rightarrow x = 5\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Vậy đồ thị hàm số có tất cả 3 tiệm cận

2

Câu 2:

Cho hàm số \(y = f(x)\) có bảng xét dấu của \(f'(x)\) như hình vẽ. Số cực trị của hàm số \(y = f(x)\) là bao nhiêu? (nhập đáp án vào ô trống)

![](images/0.jpg)

Đáp án:

Đáp án đúng là "2"

Phương pháp giải

Dựa vào bảng xét dấu của \(f'(x)\) để xác định số cực trị của hàm số

Lời giải

Dựa vào bảng xét dấu của \(f'(x)\), ta thấy \(f'(x)\) có 3 lần đổi dấu khi \(x\) đi qua các điểm đặc biệt \((x = -1, x = 2, x = 5)\). Tuy nhiên tại \(x = 5\), chúng ta chưa xác định được \(f(x)\) có liên tục hay không nên hàm số đã cho có 2 điểm cực trị

3

Câu 3:

Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\), có đồ thị của \(y = f'(x)\) như hình vẽ.

![](images/1.jpg)

Hàm số \(g(x) = f(x^2 - 2)\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (2;3)

B. (-3;-1)

C. (1;4)

D. (-4;-2). ## Đáp án đúng là A ### Phương pháp giải Lập bảng biến thiên của hàm số \(g(x) = f(x^2 - 2)\) ### Lời giải Xét hàm số: \(g(x) = f(x^2 - 2)\) \[g'(x) = 2x.f'(x^2 - 2)\] \[g'(x) = 0 \Rightarrow \begin{bmatrix} 2x = 0 \\ f'(x^2 - 2) = 0 \end{bmatrix} \Leftrightarrow \begin{bmatrix} x = 0 \\ x^2 - 2 = -2 \\ x^2 - 2 = 1 \\ x^2 - 2 = 2 \end{bmatrix} \Leftrightarrow \begin{bmatrix} x = 0 \\ x = 0 \\ x = \pm\sqrt{3} \\ x = \pm 2 \end{bmatrix}\] Bảng biến thiên kết hợp bảng xét dấu: ![](images/0.jpg) Dựa vào bảng xét dấu của \(g'(x)\), hàm số \(g(x)\) đồng biến trên các khoảng \((-2; -\sqrt{3}); (-\sqrt{3}; 0); (2; +\infty)\)

4

### Câu 4:

Cho hàm số \(y = f(x)\) có bảng biến thiên như hình vẽ:

![](images/1.jpg)

Gọi \(S\) là tập các giá trị nguyên của \(m\) để hàm số \(y = |f(x) - 2m|\) có 5 cực trị. Tính tổng các phần tử

của S?

A. 0

B. 4

C. -4

D. 10. Đáp án đúng là A Phương pháp giải Số cực trị của hàm số \(y = |f(x)| = a + b\) với \(a\) là số cực trị của hàm số \(y = f(x)\), \(b\) là số nghiệm của phương trình \(f(x) = 0\) Lời giải Số cực trị của hàm số \(y = |f(x)|=a+b\) với \(a\) là số cực trị của hàm số \(y=f(x)\), \(b\) là số nghiệm của phương trình \(f(x)=0\) Xét hàm số: \(y = f(x) - 2m\) Dựa vào bảng biến thiên của hàm số \(y = f(x) \Rightarrow y = f(x) - 2m\) có 2 cực trị \(\Rightarrow a = 2\) Xét phương trình \(f(x) - 2m = 0\) \[ \Rightarrow f(x) = 2m (*) \] Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f(x)\) và đường thẳng \(y = 2m\) Để hàm số \(y = |f(x) - 2m|\) có 5 cực trị thì phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt \(\Rightarrow\) Đồ thị hàm số \(y = f(x)\) và đường thẳng \(y = 2m\), cắt nhau tại 3 điểm phân biệt Dựa vào bảng biến thiên của \(f(x)\) ta thấy đồ thị hàm số \(y = f(x)\) cắt đường thẳng \(y = 2m\) tại 3 điểm phân biệt \(\Leftrightarrow \begin{bmatrix} 2m = 4 \\ 2m = -4 \end{bmatrix} \Leftrightarrow \begin{bmatrix} m = 2 \\ m = -2 \end{bmatrix}\) Vậy \(S = \{-2; 2\}\) Vậy tổng các phần tử của \(S\) là: \(-2 + 2 = 0\)

5

Câu 5:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số \(y = \frac{x^2 - 3x + m}{x - m}\) để hàm số đồng biến trên khoảng \((-1; 1)\)?

A. \(m \in (0; +\infty)\)

B. \(m \in [0; +\infty)\)

C. \(m \in [1; +\infty)\)

D. \(m \in (1; +\infty)\). Đáp án đúng là C Phương pháp giải Hàm số \(y = \frac{ax^2 + bx + c}{dx + e}\) đồng biến trên khoảng \((a; b) \Leftrightarrow \begin{cases} y' \ge 0, \forall x \in (a; b) \\ -\frac{e}{d} \notin (a; b) \end{cases}\) Lời giải Tập xác định: \(D = R \setminus \{m\}\) Ta có: \[y' = \frac{x^2 - 2mx + 2m}{(x - m)^2}\] Để hàm số đồng biến trên khoảng \((-1; 1) \Rightarrow \begin{cases} x^2 - 2mx + 2m \\ (x - m)^2 \\ m \notin (-1; 1) \end{cases}\) \[\Leftrightarrow \begin{cases} x^2 - 2mx + 2m \ge 0, \forall x \in (-1; 1) (*) \\ m \le -1 \\ m \ge 1 \end{cases}\] Xét bất phương trình (*) \(x^2 - 2mx + 2m \ge 0 \Leftrightarrow x^2 \ge 2m(x - 1) \forall x \in (-1; 1)\) Vì \(x \in (-1; 1) \Rightarrow \frac{x^2}{x - 1} \le 2m\) Đặt \(f(x) = \frac{x^2}{x - 1} \Rightarrow f(x) \le 2m \Rightarrow 2m \ge \max_{[-1; 1]} f(x)\) \[f'(x) = \frac{x^2 - 2x}{x - 1}\] \[f'(x) = 0 \Leftrightarrow \begin{cases} x = 2 \notin (-1; 1) \\ x = 0 \in (-1; 1) \end{cases}\] Bảng biến thiên của hàm số \(f(x) = \frac{x^2}{x - 1}\) trên khoảng \((-1; 1)\): ![](images/0.jpg) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: \(\max_{[-1;1]} f(x) = 0 \Rightarrow 2m \ge 0 \Rightarrow m \ge 0\) Kết hợp với yêu cầu bài toán và các điều kiện \(\Rightarrow m \in [1;+\infty)\)

6

Câu 6:

Cho hàm số \(y = f(x)\) có đồ thị như hình vẽ. Có mấy giá trị của tham số \(m\) để phương trình
\(f(|x-2025|) - 2m = 0\) có 4 nghiệm? (nhập đáp án vào ô trống)

![](images/1.jpg)

Đáp án:

![](images/2.jpg)

Đáp án đúng là "2"

Phương pháp giải

Suy rộng đồ thị kết hợp tịnh tiến đồ thị

Lời giải

Từ đồ thị hàm số \(y = f(x)\) ta suy ra đồ thị hàm số: \(y = f(|x|)\) ta được:
![](images/0.jpg)

Từ đồ thị hàm số \(y = f(|x|)\) ta tịnh tiến đồ thị sang phải 2025 đơn vị, ta được đồ thị hàm số \(y = f(|x-2025|)\)

![](images/1.jpg)

Dễ thấy đồ thị hàm số không có sự thay đổi, đồ thị chỉ dịch sang phải 2025 đơn vị

Số nghiệm của phương trình \(f(|x-2025|)-2m=0\) là số giao điểm của đồ thị hàm số: \(y=f(|x-2025|)\) và đường thẳng \(y=2m\)

Để phương trình \(f(|x-2025|)-2m=0\) có 4 nghiệm thực

\[ \Rightarrow \begin{cases} 2m = a, & 0 < a < 1 \\ 2m = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m = \frac{a}{2}, & 0 < a < 1 \\ m = 0 \end{cases} \]

Vậy có 2 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán

7

## Câu 7:

Cho hàm số \(y = x^3 - (2m+1)x - 3\) có hai điểm cực trị là \(A, B\). Gọi \(M, N\) là hai giao điểm của đường thẳng đi qua hai điểm cực trị \(A, B\) và đường tròn \((C): (x+1)^2 + (y+2)^2 = 16\) sao cho khoảng cách

MN lớn nhất. Khoảng cách từ điểm \(E(2;1)\) đến đường thẳng \(AB\) là:

\[A. \frac{13\sqrt{58}}{29}\]

\[B. \frac{15\sqrt{58}}{29}\]

\[C. \frac{23\sqrt{58}}{29}\]

\[D. \frac{16\sqrt{58}}{29}\]

## Đáp án đúng là A

### Phương pháp giải

Xác định phương trình đi qua hai điểm cực trị, xét vị trí tương đối của đường thẳng \(AB\) và đường tròn \((C)\)

### Lời giải

\[y' = 3x^2 - (2m+1)\]

Hàm số đã cho có hai cực trị \(\Leftrightarrow y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow m > -\frac{1}{2}\)

\[Ta có: y = x^3 - (2m+1)x - 3 = \frac{x}{3}y' - \frac{2}{3}(2m+1)x - 3\]

\(\Rightarrow\) Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số đã cho là: \(d: y = \frac{-2}{3}(2m+1)x - 3\)

Đường thẳng \(d\) luôn đi qua điểm cố định \(K(0;-3)\)

Đường tròn \((C)\) có tâm \(I(-1;-2)\) và bán kính \(R=4\)

\(d(I;d) \le IK = \sqrt{2} < R = 4\) nên đường thẳng luôn cắt đường tròn tại hai điểm \(M, N\)

Để khoảng cách \(MN\) lớn nhất thì đường thẳng \(d\) đi qua tâm \(I\). Khi đó \(MN = 2R\)

\(\Rightarrow\) Tọa độ điểm \(I\) thỏa mãn phương trình đường thẳng \(d\):

\[-2 = \frac{-2}{3}(2m+1).(-1) - 3 \Rightarrow m = \frac{5}{4}\]

Phương trình đường thẳng \(d: y = \frac{-7}{3}x - 3 \Leftrightarrow 7x + 3y + 9 = 0\)

\[Khoảng cách từ điểm \(E\) đến đường thẳng \(d: d(E;d) = \frac{|7.2 + 3.1 + 9|}{\sqrt{7^2 + 3^2}} = \frac{13\sqrt{58}}{29}.\]

A. \frac{13\sqrt{58}}{29}\] \[

B. \frac{15\sqrt{58}}{29}\] \[

C. \frac{23\sqrt{58}}{29}\] \[

D. \frac{16\sqrt{58}}{29}\] ## Đáp án đúng là A ### Phương pháp giải Xác định phương trình đi qua hai điểm cực trị, xét vị trí tương đối của đường thẳng \(AB\) và đường tròn \((C)\) ### Lời giải \[y' = 3x^2 - (2m+1)\] Hàm số đã cho có hai cực trị \(\Leftrightarrow y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow m > -\frac{1}{2}\) \[Ta có: y = x^3 - (2m+1)x - 3 = \frac{x}{3}y' - \frac{2}{3}(2m+1)x - 3\] \(\Rightarrow\) Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số đã cho là: \(d: y = \frac{-2}{3}(2m+1)x - 3\) Đường thẳng \(d\) luôn đi qua điểm cố định \(K(0;-3)\) Đường tròn \((C)\) có tâm \(I(-1;-2)\) và bán kính \(R=4\) \(d(I;d) \le IK = \sqrt{2} < R = 4\) nên đường thẳng luôn cắt đường tròn tại hai điểm \(M, N\) Để khoảng cách \(MN\) lớn nhất thì đường thẳng \(d\) đi qua tâm \(I\). Khi đó \(MN = 2R\) \(\Rightarrow\) Tọa độ điểm \(I\) thỏa mãn phương trình đường thẳng \(d\): \[-2 = \frac{-2}{3}(2m+1).(-1) - 3 \Rightarrow m = \frac{5}{4}\] Phương trình đường thẳng \(d: y = \frac{-7}{3}x - 3 \Leftrightarrow 7x + 3y + 9 = 0\) \[Khoảng cách từ điểm \(E\) đến đường thẳng \(d: d(E;d) = \frac{|7.2 + 3.1 + 9|}{\sqrt{7^2 + 3^2}} = \frac{13\sqrt{58}}{29}.\]

8

### Câu 8:

Cho hàm số: \(y = (1 + \sin^2 x)\cos x + (1 + \cos^2 x)\sin x - 1 - \sin 2x + 2m\). Số các giá trị nguyên của \(m\) để

\[f^2(x) \le 36 \forall x \text{ là? (nhập đáp án vào ô trống)}\]

Đáp án:

Đáp án đúng là "7"

Phương pháp giải

\[Đổi biến, đặt t = \sin x + \cos x, t \in \left[-\sqrt{2}; \sqrt{2}\right]\]

Lời giải

\[\begin{align} Ta \, có \, y &= (1 + \sin^2 x) \cos x + (1 + \cos^2 x) \sin x - 1 - \sin 2x + 2m \\ &= \cos x + \sin^2 x \cos x + \sin x + \cos^2 x \sin x - 1 - \sin 2x + 2m \\ &= (\cos x + \sin x) + \sin x \cos x (\sin x + \cos x) - (1 + \sin 2x) + 2m \\ &= (\cos x + \sin x) + \sin x \sin x (\sin x + \cos x) - (\sin x + \cos x)^2 + 2m \\ &= (\cos x + \sin x) \left[1 + \sin x \cos x - (\sin x + \cos x)\right] + 2m \end{align}\]

\[Đặt t = \sin x + \cos x, t \in \left[-\sqrt2; \sqrt2\right]\]

\[\Rightarrow y(t) = t \left(1 + \frac{t^2 - 1}{2} - t\right) + 2m = \frac{t^3}{2} - t^2 + \frac{1}{2} t + 2m\]

\[Xét hàm số: h(t) = \frac{t^3}{2} - t^2 + \frac{1}{t}\]

Theo bài ta có:

\[f^2(x) \le 36, \forall x \iff |y(t) + 2m| \le 6 \iff \begin{cases} h(t) + 2m \le 6 \\ h(t) + 2m \ge -6 \end{cases} \iff \begin{cases} h(t) \le 6 - 2m \\ h(t) \ge -6 - m \end{cases}\]

\[Ta \, có: h'(t) = \frac{3}{2} t^2 - 2t + \frac{1}{2}, h'(t) = 0 \iff \begin{cases} t = 1 \\ t = \frac{1}{3} \end{cases}\]

\[Ta \, có bảng biến thiên của hàm số \(y(t)\) trên khoảng \((-\sqrt{2}; \sqrt{2})\):\]
![](images/0.jpg)

Khi đó

\[ \begin{cases} h(t) \le 6 - m \\ h(t) \ge -6 - m \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \max_{t \in [-\sqrt{2}; \sqrt{2}]} h(t) \le 6 - m \\ \min_{t \in [-\sqrt{2}; \sqrt{2}]} h(t) > -6 - m \end{cases} \]

\[ \Leftrightarrow \begin{cases} \frac{3\sqrt{2} - 4}{2} \le 6 - m \\ \frac{-4 - 3\sqrt{2}}{2} \ge -6 - m \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m \le \frac{16 - 3\sqrt{2}}{2} \\ m \ge \frac{-8 + 3\sqrt{2}}{2} \end{cases} \Leftrightarrow \frac{-8 + 3\sqrt{2}}{2} \le m \le \frac{16 - 3\sqrt{2}}{2} \]

Mà \(m\) nguyên \(\Rightarrow m \in \{-1; 0; 1; 2; 3; 4; 5\}\)

9

Câu 9:

Cho hàm số \(y = f(x)\) có đồ thị \(y = f'(x)\) như hình vẽ:

![](images/1.jpg)

Có tất cả các giá trị nguyên của \(m\) với \(m \in [-2025; 2025]\) để hàm số \(g(x) = f(x-1) - (2m+1)x\) đồng

biến trên khoảng \((0;+\infty)\)? (nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án:

Đáp án đúng là "2023"

Phương pháp giải

Khảo sát và dùng điều kiện để hàm số đồng biến đánh giá hàm \(g(x)\), xác định hàm \(f'(x)\), cô lập \(m\)

Lời giải

\[g'(x) = f'(x-1) - (2m+1)\]

Hàm số đồng biến trên khoảng \((0;+\infty) \Leftrightarrow y' \ge 0, \forall x \in (0;+\infty)\)

\[\Leftrightarrow f'(x-1) - 2m - 1 \ge 0, \forall x \in (0;+\infty) \quad (1)\]

Ta có:

Đồ thị hàm số \(y = f'(x)\) có dạng đồ thị hàm bậc 3

\[\Rightarrow \text{phương trình } y = f'(x) \text{ có dạng: } y = f'(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \text{ với } a \neq 0\]

Đồ thị hàm số đi qua các điểm có tọa độ: \((-2;2), (0;-1), (1;2)\)

\[\Rightarrow \begin{cases} -8a + 4b - 2c + d = 2 \\ 0.a + 0.b + 0.c + d = -1 \\ a + b + c + d = 2 \end{cases}\]

\[\Rightarrow \begin{cases} d = -1 \\ -8a + 4b - 2c = 3 \quad (*) \\ a + b + c = 3 \end{cases}\]

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị có tọa độ: \((-2;2), (0;-1) \Rightarrow x = -2\) là nghiệm của phương trình \(y' = 0\)

\[Có: y' = 3ax^2 + 2bx + c \Rightarrow 12a - 4b + c = 0 \quad (**)\]

\[\text{Từ } (), (*) \text{ ta có hệ phương trình: } \begin{cases} -8a + 4b - 2c = 3 \\ a + b + c = 3 \\ 12a - 4b + c = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a = \frac{3}{4} \\ b = \frac{9}{4} \\ c = 0 \end{cases}\]

\[ \Rightarrow y = f'(x) = \frac{3}{4}x^3 + \frac{9}{4}x^2 - 1 \]

\[ \Rightarrow f'(x-1) = \frac{3}{4}(x-1)^3 + \frac{9}{4}(x-1) - 1 = \frac{3}{4}x^3 - \frac{9}{4}x^2 + \frac{9}{2}x - 4 \]

⇒ Bất phương trình (1)

\[ \Leftrightarrow \frac{3}{4}x^3 - \frac{9}{4}x^2 - \frac{9}{2}x - 4 - 2m - 1 \geq 0, \forall x \in (0; +\infty) \Leftrightarrow \frac{3}{4}x^3 - \frac{9}{4} x^2 + \frac{9}{2} x - 5 - 2m \geq 0, \forall x \in (0; +\infty) \]

Xét hàm số: \(h(x) = \frac{3}{4}x^3 - \frac{9}{4}x^3 + \frac{9}{2}x - 5\) trên khoảng \((0; +\infty)\)

\[ \Rightarrow h(x) - 2m \geq 0 \Leftrightarrow h(x) \geq 2m, \forall x \in (0; +\infty) \]

\[ \Rightarrow 2m \leq \min_{[0;+\infty]} h(x), \forall x \in (0; +\infty) \]

H S A

\[ h'(x) = \frac{9}{4}x^2 - \frac{9}{2}x + \frac{9}{2} \]

Ta thấy: \(h'(x) > 0 \forall x \in (0; +\infty) \Rightarrow\) Hàm số \(y = h(x)\) đồng biến trên khoảng \((0; +\infty)\)

Bảng biến thiên hàm số \(y = h(x)\):

![](images/0.jpg)

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: \(2m \leq -5 \Leftrightarrow m \leq \frac{-5}{2}\)

Mà \(m \in [-2025; 2025] \Rightarrow\) Có tất cả 2023 giá trị \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

10

## Câu 10:

Dung dịch muối NaCl có nồng độ 20% (tức là trong 100 g dung dịch NaCl có 20 g NaCl nguyên chất). Nếu ta thêm \(x\) gam muối tinh khiết vào 500 g dung dịch muối có sẵn ta được dung dịch mới có nồng độ \(f(x)\%\). Xác định công thức hàm \(f(x)\)?

A. \(f(x) = \frac{x}{500}.100.\) C. \(f(x) = \frac{x+100}{x+500}.100.\)

B. \(f(x) = \frac{x+100}{x+500}.100.\) B. \(f(x) = \frac{(x+500)}{x}.100.\)

C. \(f(x) = \frac{x+100}{x}.100.\) ## Đáp án đúng là C ### Phương pháp giải Công thức tỉ lệ phần trăm ### Lời giải Trong 500 g dung dịch muối nồng độ 20% có: \(500 \cdot \frac{20}{100} = 100\) gam muối tinh khiết. Khi thêm \(x\) gam muối tinh khiết vào 500\(g\) dung dịch muối nồng độ 20% thì ta có: \((x+100)\) gam muối tinh khiết. \[ \Rightarrow f(x) = \frac{x+100}{x+500} \cdot 100 \]

11

### Câu 11:

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: \((C): y = \frac{x-3}{x+1}\), biết tiếp tuyến đi qua điểm \(A(1; -1)\)?

A. \(-x+y+2=0\). B. \(x+y+2=0\). C. \(4x-y-3=0\). D. \(4x+y-3=0\).

### Đáp án đúng là C

### Phương pháp giải

Xác định phương trình tiếp tuyến của \((C)\) tại một điểm. Thay tọa độ điểm \(A\) vào phương trình tiếp tuyến đó và xác định \(x_0\).

### Lời giải

\[ Ta có: y' = \frac{4}{(x+1)^2} \]

Gọi \(M(x_0; y_0)\) là điểm thuộc đồ thị hàm số \((C)\)

\[ \Rightarrow y'(x_0) = \frac{4}{(x_0+1)^2}, y(x_0) = y_0 = \frac{x_0-3}{x_0+1} \]

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \((C)\) tại \(M\) có dạng:

\[ d: y = y'(x_0) \cdot (x - x_0) + y_0 = \frac{4}{(x_0+1)^2} (x - x_0) + \frac{x_0-3}{x_0+1} \]

<	ref	>text<	/ref	> Bilder

Thay tọa độ \(A\) vào phương trình đường thẳng \(d\) ta được: \(1 = \frac{4}{(x_0 + 1)^2}(1 - x_0) + \frac{x_0 - 3}{x_0 + 1}\)

Giải phương trình ta được \(x_0 = 0\)

Thay \(x_0 = 0\) vào phương trình đường thẳng \(d\) ta được: \(y = 4x - 3\)

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: \(4x - y - 3 = 0\)

A. \(-x+y+2=0\)

B. \(x+y+2=0\)

C. \(4x-y-3=0\)

D. \(4x+y-3=0\). ### Đáp án đúng là C ### Phương pháp giải Xác định phương trình tiếp tuyến của \((C)\) tại một điểm. Thay tọa độ điểm \(A\) vào phương trình tiếp tuyến đó và xác định \(x_0\). ### Lời giải \[ Ta có: y' = \frac{4}{(x+1)^2} \] Gọi \(M(x_0; y_0)\) là điểm thuộc đồ thị hàm số \((C)\) \[ \Rightarrow y'(x_0) = \frac{4}{(x_0+1)^2}, y(x_0) = y_0 = \frac{x_0-3}{x_0+1} \] Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \((C)\) tại \(M\) có dạng: \[ d: y = y'(x_0) \cdot (x - x_0) + y_0 = \frac{4}{(x_0+1)^2} (x - x_0) + \frac{x_0-3}{x_0+1} \] <|ref|>text<|/ref|> Bilder Thay tọa độ \(A\) vào phương trình đường thẳng \(d\) ta được: \(1 = \frac{4}{(x_0 + 1)^2}(1 - x_0) + \frac{x_0 - 3}{x_0 + 1}\) Giải phương trình ta được \(x_0 = 0\) Thay \(x_0 = 0\) vào phương trình đường thẳng \(d\) ta được: \(y = 4x - 3\) Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: \(4x - y - 3 = 0\)

12

## Câu 12:

Loài côn trùng \(A\) là loài duy nhất có khả năng thụ phấn cho loài thực vật \(B\). Côn trùng \(A\) bay đến hoa của cây \(B\) mang theo nhiều hạt phấn và tiến hành thụ phấn cho cây \(B\). Và ngược lại,cây \(B\) cung cấp lượng thức ăn dồi dào cho côn trùng \(A\), thu hút loài sinh vật này đến và thụ phấn cho nó. Giả sử số cây được thụ phấn thành công được xác định theo công thức: \(f(t) = \frac{40t}{t^2 + 5}\), trong đó thời gian \(t\) được tính bằng tháng kể từ khi hoa của cây \(B\) bắt đầu nở. Hỏi sau bao lâu thì số cây được thụ phấn thành công nhiều nhất? (nhập đáp án vào ô trống, kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Đáp án:

Đáp án đúng là "2"

Phương pháp giải

Khảo sát hàm \(f(t)\)

Lời giải

Xét hàm số: \(f(t) = \frac{40t}{t^2 + 5}\)

\[f'(t) = \frac{-80t^2 + 200}{\left(t^2 + 5\right)^2},\]

\[f'(t) = 0 \Rightarrow \frac{-80t^2 + 200}{\left(t^2 + 5\right)^{2}} = 0 \Rightarrow -80t^2 + 200 = 0 \Rightarrow t^2 = \frac{5}{2} \Rightarrow t = \pm \frac{\sqrt{10}}{2}\]

Vì \(t > 0 \Rightarrow t = \frac{\sqrt{10}}{2}\)

Bảng biến thiên:
![](images/0.jpg)

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy số cây được thụ phấn nhiều nhất khi \(t = \frac{\sqrt{10}}{2} \approx 2\)

Vậy sau gần 2 tháng số cây được thụ phấn sẽ lớn nhất

13

## Câu 13:

Thuốc lá gây hại cho sức khỏe và tính mạng con người. Theo WHO, trong năm 2022, cứ 5 người trưởng thành lại có 1 người hút thuốc hoặc tiêu thụ các sản phẩm thuốc lá. Giả sử tỉ lệ người dân của một tỉnh nghiện thuốc lá là 30%; tỉ lệ người bị bệnh phổi trong số người nghiện thuốc lá là 80%, trong số người không nghiện thuốc lá là 10%. Hỏi khi ta gặp ngẫu nhiên một người dân của tỉnh đó thì khả năng mà người đó bị bệnh phổi là bao nhiêu?

A. 0,31

B. 0,2

C. 0,42

D. 0,35. ## Đáp án đúng là A ### Phương pháp giải Áp dụng công thức tính xác suất toàn phần, Bayes ### Lời giải Gọi \(A\): "Người nghiện thuốc lá \(\Rightarrow \overline{A}\): "Người không nghiện thuốc lá" B: "Người bị bệnh phổi" Để người ta gặp bị bệnh phổi thì người đó có thể nghiện thuốc lá hoặc không nghiện thuốc lá. Ta có: \(P(A) = 0,3 \Rightarrow P(\overline{A}) = 0,7\) Xác suất để người đó bị bệnh phổi do hút thuốc lá là: \(P(B|A) = 0,8\) Xác suất để người đó bị bệnh phổi không do hút thuốc là: \(P(B|\overline{A}) = 0,1\) Vậy \(P(B) = P(A).P(B|A) + P(\overline{A}).P(B|\overline{A}) = 0,3.0,8 + 0,7.0,1 = 0,31\)

14

Câu 14:

Có một mảnh vườn hình chữ nhật \(ABCD\) có chiều rộng \(6m\), chiều dài \(10m\). Người ta chia mảnh vườn như hình vẽ. Phần được gạch chéo người ta dùng để trồng cỏ, phần còn lại họ lát đá để trang trí. Biết rằng để lát mỗi \(m^2\) đá tốn 300 nghìn cả vật liệu lẫn công lát. Tính chi phí người đó phải trả để lát đá? (nhập đáp án vào ô trống, đơn vị: triệu đồng)

![](images/0.jpg)

Đáp án:

Đáp án đúng là "6"

Phương pháp giải

Sử dụng ứng dụng tích phân trong tính diện tích hình phẳng

Lời giải

Giả sử mảnh vườn được gắn hệ trục \(Oxy\) như hình vẽ:

![](images/1.jpg)

Khi đó ta thấy phần gạch sọc được giới hạn bởi một parabol và đường thẳng đi qua \(C, D\)

Parabol có đỉnh \(I(0;3)\), đi qua các điểm \(D(-5;-3), C(5;-3) \Rightarrow\) Phương trình \((P): y = \frac{-6}{25}x^2 + 3\)

Đường thẳng đi qua hai điểm \(C, D: y = -3\)

Gọi \(S\) là diện tích mảnh vườn hình chữ nhật, \(S_1\) là diện tích trồng cỏ

⇒ Diện tích lát đá là: \(S_2 = S - S_1\)

\[ \Rightarrow S_2 = S - S_1 = 10.6 - \int_{-5}^{5} \left( -\frac{6}{25}x^2 + 3 - (-3) \right) dx = 20(m^2) \]

Vậy chi phí cần dùng để lát đá là: 300000.20 = 6000000 (đồng)

15

## Câu 15:

Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng \((H)\) giới hạn bởi các đường \(y = f(x); y = 0; x = a; x = b\) (\(a < b\)) quanh trục hoành bằng:

A. \(\int_a^b f(x) dx\)

B. \(\int_a^b f^2(x) dx\)

C. \(\int_a^b |f(x)| dx\)

D. \(\pi \int_a^b f^2(x) dx\). ## Đáp án đúng là D ### Phương pháp giải Công thức thể tích khối tròn xoay ### Lời giải Áp dụng lý thuyết

16

## Câu 16:

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho ba điểm \(A(2;-1;1)\), \(B(0;-2;3)\), \(C(1;0;-1)\) và mặt phẳng \((P): 2x + 2y - z + 5 = 0\). Điểm \(M(a,b,c)\) nằm trên mặt phẳng \((P)\) thỏa mãn \(MA = MB = MC\). Tính \(T = a + 3b - 2c\)

A. \(\frac{19}{3}\)

B. \(-\frac{19}{3}\)

C. \(\frac{20}{3}\)

D. \(-\frac{20}{3}\). ### Đáp án đúng là D ### Phương pháp giải Lập hệ phương trình 3 ẩn ### Lời giải Vì điểm \(M\) nằm trên mặt phẳng \((P) \Rightarrow 2a + 2b - c + 5 = 0\) (*) Ta có: \(MA = (2 - a; -1 - b; 1 - c)\) \[ \Rightarrow |\overrightarrow{MA}| = MA = \sqrt{(2-a)^2 + (-1-b)^2 + (1-c)^2} \] \[ \overrightarrow{MB} = (-a; -2-b; 3-c) \Rightarrow |\overrightarrow{MB}| = MB = \sqrt{a^2 + (-2-b)^2 + (3-c)^2} \] \[ \overrightarrow{MC} = (1-a; -b; -1-c) \Rightarrow |\overrightarrow{MC}| = MC = \sqrt{(1-a)^2 + b^2 + (-1-c)^2} \] Theo bài \(MA = MB = MC\) \[ \Rightarrow \begin{cases} MA = MC \\ MC = MB \end{cases} \] \[ \Rightarrow \begin{cases} (2-a)^2 + (-1-b)^2 + (1-c)^2 = (1-a)^2 + b^2 + (-1-c)^2 \\ (1-a)^2 + b^2 + (-1-c)^2 = a^2 + (-2-b)^2 + (3-c)^2 \end{cases} \] \[ \Rightarrow \begin{cases} -2a - 4b + 8c = 11 \\ -a + b - 2c = -2 \end{cases} \text{ (**)} \] \[ \text{Kết hợp (*), (**) ta có hệ phương trình:} \begin{cases} -2a - 4b + 8c = 11 \\ a + b - 2c = -2 \\ 2a + 2b - c = -5 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a = \frac{-1}{2} \\ b = \frac{-11}{6} \\ c = \frac{1}{3} \end{cases} \] \[ \Rightarrow M \left( \frac{-1}{2}; \frac{-11}{6}; \frac{1}{3} \right) \] \[ \Rightarrow T = a + 3b - 2c = \frac{-1}{2} + \frac{-11}{6} \cdot 3 - 2 \cdot \frac{1}{3} = -\frac{20}{3} \] **Dựa vào thông tin cung cấp dưới đây để trả lời các câu từ 17 đến 19.** Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành. Gọi \(M \in SA\) sao cho \(SM = \frac{1}{3}SA\), \(N \in SB\) sao cho \(BN = \frac{1}{2}SN\) và \(P\) là trung điểm của \(SC\). Kẻ \(AB\) cắt \(MN\) tại \(H, MP\) cắt \(AC\) tại \(K, NP\) cắt \(BC\) tại \(I\)

17

Câu 17:

Phân tích vecto \(\overrightarrow{MH}\) theo các vecto \(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC}\) và \(\overrightarrow{SA}\)?

\[ \text{A. } \overrightarrow{MH} = \frac{3}{2}\overrightarrow{SA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} - \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}. \]

\[ \text{B. } \overrightarrow{MH} = \frac{2}{3}\overrightarrow{SA} + \frac{6}{5}\overrightarrow{AB}. \]

\[ \text{C. } \overline{MH} = \frac{3}{2} \overline{SA} + \frac{1}{5} \overline{AB} - \frac{3}{2} \overline{BC}. \]

\[ \text{D. } \overline{MH} = \frac{2}{3} \overline{SA} + \frac{6}{5} \overline{AB} - \frac{1}{2} \overline{BC}. \]

## Đáp án đúng là B

### Phương pháp giải

Phân tích vecto dùng định lý Menelaus

### Lời giải

![](images/0.jpg)

Xét \(\Delta SBA\) có 3 điểm M, N, H thẳng hàng. Theo định lý Menelaus ta có:

\[ \frac{MS}{MA} \cdot \frac{HA}{HB} \cdot \frac{NB}{NS} = 1 \Rightarrow \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{HA}{HB} = 1 \Rightarrow \frac{HA}{HB} = 4 \Rightarrow HA = 4HB \]

\[ \text{Ta có: } \overline{MH} = \overline{MA} + \overline{AB} + \overline{BH} = \frac{2}{3} \overline{SA} + \overline{AB} + \frac{1}{5} \overline{AB} = \frac{2}{3} \overline{SA} + \frac{6}{\overline{5}} \overline{AB} \]

A. } \overrightarrow{MH} = \frac{3}{2}\overrightarrow{SA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} - \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}. \] \[ \text{

B. } \overrightarrow{MH} = \frac{2}{3}\overrightarrow{SA} + \frac{6}{5}\overrightarrow{AB}. \] \[ \text{

C. } \overline{MH} = \frac{3}{2} \overline{SA} + \frac{1}{5} \overline{AB} - \frac{3}{2} \overline{BC}. \] \[ \text{

D. } \overline{MH} = \frac{2}{3} \overline{SA} + \frac{6}{5} \overline{AB} - \frac{1}{2} \overline{BC}. \] ## Đáp án đúng là B ### Phương pháp giải Phân tích vecto dùng định lý Menelaus ### Lời giải ![](images/0.jpg) Xét \(\Delta SBA\) có 3 điểm M, N, H thẳng hàng. Theo định lý Menelaus ta có: \[ \frac{MS}{MA} \cdot \frac{HA}{HB} \cdot \frac{NB}{NS} = 1 \Rightarrow \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{HA}{HB} = 1 \Rightarrow \frac{HA}{HB} = 4 \Rightarrow HA = 4HB \] \[ \text{Ta có: } \overline{MH} = \overline{MA} + \overline{AB} + \overline{BH} = \frac{2}{3} \overline{SA} + \overline{AB} + \frac{1}{5} \overline{AB} = \frac{2}{3} \overline{SA} + \frac{6}{\overline{5}} \overline{AB} \]

18

### Câu 18:

Phân tích vecto \(\overline{MK}\) theo các vecto \(\overline{AB}, \overline{BC}\) và \(\overline{SA}\)?

A. \(\overline{MK} = \frac{2}{3} \overline{SA} + \overline{AB}+\overline{BC}\)

B. \(\overline{MK} = \frac{2}{3} \overline{SA} - \overline{AB} + \overline{BC}\)

C. \(\overline{MK} = \frac{2}{3} \overline{SA} +\overline{AB}-\overline{BC}\)

D. \(\overline{MK} = \frac{2}{3} \overline{SA} \cdot 2 \left( \overline{AB} + \overline{BC} \right)\). ### Đáp án đúng là D ### Phương pháp giải Dùng định lý Menelaus ### Lời giải Sử dụng hình câu 1 Xét \(\Delta SCA\) có 3 điểm M, P, K thẳng hàng. Theo định lý Menelaus ta có: \[ \frac{MS}{MA} \cdot \frac{KA}{KC} \cdot \frac{PC}{PS} = 1 \Rightarrow \frac{1}{2} \cdot \frac{KA}{KC} = 1 \Rightarrow \frac{KA}{KC} = 2 \Rightarrow KA = 2KC \] Ta có: \[ \begin{aligned} \overline{MK} &= \overline{MS} + \overline{SA} + \overline{AC} + \overline{CK} \\ &= \frac{-1}{3} \overline{SA} + \overline{SA} + 2\left(\overline{AB} + \overline{BC}\right) \\ &= \frac{2}{3} \overline{SA} + 2\overline{AB} + 2\overline{BC} \end{aligned} \]

19

Câu 19:

Phân tích vecto \(\overline{MI}\) theo các vecto \(\overline{AB}, \overline{BC}\) và \(\overline{SA}\)?

A. \(\overline{MI} = -\frac{1}{3} \overline{SA} + \overline{AB} - \overline{BC}\). C. \(\overline{MI} = \frac{1}{3} \overline{SA} + \overline{AB} - \bar{BC}\)

B. \(\overline{MI} = \frac{1}{3} \overline{SA} + \overline{AB} - \bar{BC}\). B. \(\overline{MI} = -\frac{2}{3} \overline{SA} + \overline{AB} - \overline{BC}\)

C. \(\overline{MI} = \frac{2}{3} \overline{SA} + \overline{AB} - \bar{BC}\). **Đáp án đúng là D** **Phương pháp giải** Sử dụng định lý Menelaus **Lời giải** Sử dụng hình câu 17: Xét \(\Delta SCB\) có 3 điểm I, P, N thẳng hàng. Theo định lý Menelaus ta có: \[ \frac{PC}{PS} \cdot \frac{NS}{NB} \cdot \frac{IB}{IC} = 1 \Rightarrow \frac{IB}{IC} = \frac{1}{2} \] Ta có: \[ \overline{MI} = \overline{MS} + \overline{SA} + \overline{AB} + \overline{BI} \] \[ = -\frac{1}{3} \overline{SA} + \overline{SA} + \overline{AB} - \overline{BC} = \frac{2}{3} \overline{SA} + \overline{AB}- \overline{BC} \]

20

Câu 20:

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \((\alpha)\) đi qua điểm \(M(2;-1;0)\) và cắt các tia

\(O_x, O_y, O_z\) lần lượt tại \(A, B, C\) sao cho độ dài \(OA, OB, OC\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng có công sai \(d = 3\). Tính khoảng cách từ gốc tọa độ tới mặt phẳng \((\alpha)\). Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị. (nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án:

![](images/0.jpg)

Đáp án đúng là "2"

Phương pháp giải

Lập phương trình đoạn chắn của mặt phẳng \((\alpha)\)

Lời giải

\[A \in O_x \Rightarrow A(a, 0, 0), B \in O_y \Rightarrow B(0, b, 0), C \in O_z \Rightarrow C(0, 0, c) \text{ với } abc \neq 0 \text{ và } a > 0, b > 0, c > 0\]

Phương trình mặt phẳng \((\alpha)\) có dạng: \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\)

Mặt phẳng \((\alpha)\) đi qua \(M(2; -1; 0) \Rightarrow \frac{2}{a} - \frac{1}{b} = 1 \Rightarrow 2b - a = ab\) (*).

Ta có: \(OA = a, OB = b, OC = c\) lập thành cấp số cộng với công sai \(d = 3\)

\[\Rightarrow \begin{cases} b = a + 3 \\ c = a + 6 \end{cases}\]

Thay \(b = a + 4\) vào phương trình (*) ta được:

\[2(a + 3) - a = (a + 3)a \Rightarrow 2a + 6 - a = a^2 + 3a \Leftrightarrow a^2 + 2a - 6 = 0\]

\[\Rightarrow \begin{cases} a = -\sqrt{7} - 1(L) \\ a = \sqrt{7} - 1 \end{cases}\]

Với \(a = -\sqrt{7} - 1 \Rightarrow \begin{cases} b = \sqrt{7} + 2 \\ c = \sqrt{7} + 5 \end{cases}\)

Vậy phương trình mặt phẳng \((\alpha)\) là:

\[\frac{x}{\sqrt{7} - 1} + \frac{y}{\sqrt{7} + 2} + \frac{z}{\sqrt{7} + 5} = 1\]

\[\Rightarrow d(O;(\alpha)) = \frac{|-1|}{\sqrt{125 - 34\sqrt{7}}} = \frac{9}{\sqrt{125 - 34\sqrt{7}}} \approx 2\]

21

Câu 21:

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d_1: \frac{x-1}{1} = \frac{y-2}{2} = \frac{z}{1}\), đường thẳng \(d_2: \begin{cases} x = 2 + t \\ y = -1 - t \text{ với } t \in \mathbb{R}, \text{ điểm } M(1; -4; 3). \end{cases}\) Xác định phương trình đường thẳng đi qua \(A\) và cắt hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\).

A. \(\Delta: \frac{x-1}{6} = \frac{y+4}{-10} = \frac{z-3}{17}\)

B. \(\Delta: \frac{x-1}{-6} = \frac{y+4}{-10} = \frac{z}{17}\)

C. \(\Delta: \frac{x-1}{6} = \frac{y+4}{10} = \frac{z-3}{-17}\)

D. \(\Delta: \frac{x-1}{6} = \frac{y+4}{0} = \frac{z-3}{17}\). Đáp án đúng là A Phương pháp giải Hai vecto cùng phương Lời giải \[d_1: \frac{x-1}{1} = \frac{y-2}{1} = \frac{z}{1} \Leftrightarrow \begin{cases} x = 1 + t' \\ y = 2 + 2t' \\ z = t' \end{cases}\] Gọi đường thẳng cần tìm là \(\Delta\) Gọi giao điểm của \(\Delta\) và \(d_1\) và \(d_2\) lần lượt là \(A, B\) Vì \(A \in d_1 \Rightarrow A(1+t'; 2+2t'; t')\) \[B \in d_2 \Rightarrow B(2+t; -1-t; 2t)\] Đường thẳng \(\Delta\) đi qua ba điểm \(A, B, M \Rightarrow \overline{AM} = k \cdot \overline{BM}\) Ta có: \(\overline{AM} = (-t'; -6-2t'; 3-t'\); \(\overline{BM} = (-1-t; -3+t; 3-2t')\) \[\Rightarrow \begin{cases} -t' = k(-1-t) \\ -6-2t' = k(-3+t) \\ 3-t' = k(3-2t) \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} -t' = -k - kt \\ -6-2t' = -3k + kt \\ 3-t' = 3k - 2kt \end{cases}\] \[ \Leftrightarrow \begin{cases} -t' + k + kt = 0 \\ -2t' + 3k - kt = 6 \\ -t' - 3k + 2kt = -3 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} t' = \frac{-18}{11} \\ k = \frac{3}{11} \\ kt = \frac{-21}{11} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} t' = \frac{-18}{1} \\ k = \frac{3}{11} \\ t = -7 \end{cases} \] \[ \Rightarrow \overline{BM} = (6; -10; 17) \] Phương trình đường thẳng \(\Delta\) đi qua \(M(1; -4; 3)\) và nhận vecto \(\overline{BM} = (6; -10; 17)\) làm vecto chỉ phương có dạng: \(\Delta: \frac{x-1}{6} = \frac{y+4}{-10} = \frac{z-3}{17}\)

22

## Câu 22:

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \((S): x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 4y + 6z - 2 = 0\) và mặt phẳng \((P): x - my + z + 3m - 2 = 0\). Gọi \(P\) là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để mặt phẳng \((P)\) cắt mặt cầu \((S)\) theo giao tuyến là đường tròn có chu vi bằng \(6\pi\). Tính tổng các phần tử của \(P\)?

A. \(\frac{-7}{3}\)

B. \(\frac{-4}{3}\)

C. \(\frac{-5}{3}\)

D. \(\frac{-8}{3}\). ## Đáp án đúng là B ### Phương pháp giải Đường tròn cắt mặt phẳng \(d(I, (P)) < R\) ### Lời giải Mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(1; 2; -3)\) và bán kính \(R = \sqrt{1 + 2^2 + 9 - (-2)} = 4\) \[ Ta \, có: d(I, (P)) = \frac{|1 - 2m - 3 + 3m - 2|}{\sqrt{1 + m^2 + 1}} = \frac{|m - 4|}{\sqrt{1 + m^2 + 1}} \] Gọi \((C)\) là đường tròn giao tuyến giữa mặt cầu \((S)\) và mặt phẳng \((P)\). Đường tròn \((C)\) có chu vi \(6\pi \Rightarrow r = 3\) \[ Ta \, có: R^2 = d^2(I, (P)) + r^2 \Rightarrow d^2(I, (P)) = R^2 - r^2 = 16 - 9 = 7 \] \[ \Leftrightarrow \frac{(m-4)^2}{2+m^2} = 7 \Leftrightarrow m^2 - 8m + 16 = 14 + 7m^2 \Leftrightarrow 6m^2 + 8m - 2 = 0 \] \[ \Leftrightarrow \begin{cases} m = \frac{-2 + \sqrt{7}}{3} \\ m = \frac{-2 - \sqrt{7}}{3} \end{cases} \Rightarrow P = \begin{cases} \frac{-2 + \sqrt{7}}{3}; \frac{-2 - \sqrt{7}}{3} \end{cases} \] \[ \Rightarrow \text{Tổng các phần tử của } P \text{ bằng: } -\frac{4}{3} \]

23

## Câu 23:

Trong không gian hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \((S): x^2 + (y-2)^2 + (z+1)^2 = 3\) và đường thẳng
\[ d: \begin{cases} x = 1 - 2t \\ y = -1 + 2t, (t \in \mathbb{R}) \end{cases} \]
Xác định phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng \(d\) và cắt \((S)\) theo một đường tròn có bán kính nhỏ nhất?

A. \(x - 19y + 13z + 20 = 0\). C. \(x + 19y - 13z + 20 = 0\)

B. \(x + 19y - 13z + 20 = 0\). B. \(x - 19y + 13z - 20 = 0\)

C. \(x - 19y - 13z - 20 = 0\). ## Đáp án đúng là B ### Phương pháp giải Bán kính đường tròn giao tuyến: \(r = \sqrt{R^2 - d^2(I; (P))}\) ### Lời giải Mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(0; 2; -1)\), bán kính \(R = 3\) Gọi \(r\) là bán kính đường tròn giao tuyến của mặt phẳng \((P)\) chứa đường thẳng \(d\) và cắt mặt cầu \((S)\), gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) trên mặt phẳng \((P)\). \[ \text{Ta có: } r = \sqrt{R^2 - IH^2} \Rightarrow r_{\text{min}} \Leftrightarrow IH_{\text{max}} \] \(IH_{\text{max}}\) khi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) trên đường thẳng \(d\) \[ \text{Vì } H \in d \text{ nên } \Rightarrow H(1-2t; -1+2t; t) \] \[ \overline{IH} = (1-2t; -3+2t; t+1) \] \(H\) là hình chiếu của \(I\) trên đường thẳng \(d\overline{IH}u_d = 0\) \[ \Rightarrow -2.(1-2t) + 2.(-1+2t) + t = 0 \Rightarrow t = \frac{4}{9} \] \[ \Rightarrow \overline{IH} = \left(\frac{1}{9}; -\frac{19}{9}; \frac{13}{9}\right) \] Phương trình mặt phẳng cần tìm là: \(\frac{1}{9}(x-1) - \frac{19}{9}(y+1) + \frac{13}{9}z = 0\) \[ \Leftrightarrow (P): x - 19y + 13z - 20 = 0 \]

24

## Câu 24:

Trong không gian hệ tọa độ \(Oxyz\) cho ba điểm \(A(-2;1;3)\), \(B(0;-2;1)\), \(C(-1;4;3)\) và mặt phẳng \((P): x + 2y - 2z + 6 = 0\). Gọi \(M\) là điểm thuộc mặt phẳng \((P)\) sao cho biểu thức: \(T = \left|MC - 5MA\right| + \left|MA + MB + 2MC\right|\) đạt giá trị nhỏ nhất. Biết rằng \(M(x_0; y_0, z_0)\). Tính \(A = x_0 + y_0 + z_0\)? (nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án:

Đáp án đúng là "7/4"

Phương pháp giải

Gọi trọng tâm tam giác \(ABC\). Dùng tâm tỷ cự

Lời giải

\[ Gọi I thỏa mãn \overline{IA} + \overline{IB} + 2\overline{IC} = \vec{0} \Rightarrow I\left(-1; \frac{7}{4}; \frac{10}{4}\right) \]

\[ Và điểm J thỏa mãn: \overline{JC} - 5\overline{JA} = \vec{0} \Rightarrow J\left(-\frac{9}{4}; \frac{1}{4}; 3\right) \]

Ta có

\[ \begin{aligned} T &= \left|MC - 5MA\right| + \left|MA + MB + MC\right| = \left|MJ + JC - 5MJ - 5JA\right| + \left|MI + IA + MI + IB + 2MI + 2IC\right| \\ &= \left|-4MJ\right| + \left|4MI\right| = 4(MJ + MI) \end{aligned} \]

Xét vị trí tương đối của hai điểm \(I, J\) so với mặt phẳng \((P)\) có:

\[P_{(l)} = -1 + 2 \cdot \frac{7}{4} - 2 \cdot \frac{10}{4} + 6 = \frac{7}{2}\]

\[P_{(J)} = -\frac{9}{4} + 2 \cdot \frac{1}{4} - 2 \cdot 3 + 6 = \frac{-7}{4}\]

\[\Rightarrow P_{(l)} \cdot P_{(J)} = \frac{7}{2} \cdot \left(-\frac{7}{4}\right) = -\frac{49}{8} < 0 \Rightarrow I, J \text{ nằm khác phía so với mặt phẳng } (P)\]

Lại có: Theo bất đẳng thức tam giác ta có: \(MI + MJ \geq IJ\)

\[\Rightarrow T \geq IJ \Rightarrow T_{\text{min}} = IJ \Leftrightarrow M, I, J \text{ thẳng hàng hay } M = IJ \cap (P)\]

\[IJ = \left(-\frac{5}{4}; -\frac{3}{2}; \frac{1}{2}\right)\]

Phương trình đường thẳng đi qua \(I, J\) là:
\[\begin{cases}
x = -\frac{9}{4} - \frac{5}{4}t \\
y = \frac{1}{4} - \frac{3}{2}t \\
z = 3 + \frac{1}{2}t
\end{cases}\]

\[\Rightarrow M \left(-\frac{9}{4} - \frac{5}{4}t; \frac{1}{4} - \frac{3}{2}t; 3 + \frac{1}{2}t\right)\]

\[M \in (P) \Rightarrow -\frac{9}{4} - \frac{5}{4}t + 2 \cdot \left(\frac{1}{4} - \frac{3}{2}t\right) - 2 \left(3 + \frac{1}{2}t\right) + 6 = 0 \Rightarrow t = -\frac{1}{3}\]

\[\Rightarrow M \left(-\frac{11}{6}; \frac{3}{4}; \frac{17}{6}\right) \Rightarrow A = -\frac{11}{6} + \frac{3}{4} + \frac{17}{6} = \frac{7}{4}\]

25

## Câu 25:

Trong không gian hệ tọa độ \(Oxyz\), cho các điểm \(A(a; 0; 0)\), \(B(0; b; 0)\), \(C(0; 0; c)\) di động trên các tia \(Ox, Oy, Oz\) sao cho \(2a + b - c = 6\). Biết rằng khi \(a, b, c\) thay đổi thì quỹ tích tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(OABC\) thuộc mặt phẳng \((\alpha)\) cố định. Xác định phương trình mặt phẳng \((\alpha)\)?

A. \(x + y + z - 1 = 0\)

B. \(x - y + z - 1 = 0\)

C. \(2x + y - z + 3 = 0\)

D. \(2x + y - z - 3 = 0\). ## Đáp án đúng là D ### Phương pháp giải Xác định tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp hình chóp \(OABC\) Lời giải Vì \(A, B, C\) di động trên các tia \(Ox, Oy, Oz \Rightarrow a, b, c > 0\) Gọi \(E\) là trung điểm \(AB \Rightarrow E\left(\frac{a}{2}; \frac{b}{2}; 0\right)\). Vì \(\Delta OAB\) vuông tại \(O\) nên \(E\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta OAB\). Gọi \(d\) là đường thẳng đi qua \(E\) và vuông góc với mặt phẳng \((OAB) \equiv (Oxy) \Rightarrow d: \begin{cases} x = \frac{a}{2} \\ y = \frac{b}{2} \\ z = t \end{cases}\) Gọi \((\beta)\) là mặt phẳng trung trực của đoạn \(OC \Rightarrow (\beta): z - \frac{c}{2} = 0\) Khi đó tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(OABC\) là giao điểm của \(d\) và mặt phẳng \((\beta)\) Gọi \(I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(OABC \Rightarrow Tọa độ \(I\) là nghiệm của hệ phương trình: \[ \begin{cases} x = \frac{a}{2} \\ y = \frac{b}{3} \\ z = t \\ z = \frac{c}{2} = 0 \end{cases} \Rightarrow I\left(\frac{a}{2}; \frac{b}{2}; \frac{c}{2}\right) \] Ta có: \(2x_1 + y_1 - z_1 = 2.\frac{a}{2} + \frac{b}{2} - \frac{c}{2} = \frac{2a + b - c}{2} = \frac{6}{2} = 3\) \[ \Rightarrow 2x_1 + y_1 - z_1 - 3 = 0. \] Vậy tâm \(I\) của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(OABC\) luôn nằm trên mặt phẳng \((\alpha): 2x + y - z - 3 = 0\)

26

Câu 26:

Có bao nhiêu số thực \(a < -1\) để \(\int_{0}^{1} \frac{1}{x^2 + a} dx = \frac{1}{2\sqrt{-a}} \ln \frac{1}{2}\)?

A. 0

B. 1

C. 3

D. 4. Đáp án đúng là B Phương pháp giải Tính tích phân và đánh giá Lời giải Do \(a < -1\) nên không mất tổng quát giả sử \(a = -b\), ta tìm \(b > 1\). thỏa mãn yêu cầu. \[ \int_{0}^{1} \frac{1}{x^2 - b} dx = \int_{0}^{1} \frac{1}{(x - \sqrt{b})(x + \sqrt{b})} dx = \frac{1}{2\sqrt{b}} \int_{0}^{1} \left( \frac{1}{x - \sqrt{b}} - \frac{1}{x + \sqrt{b}} \right) dx \\ = \frac{1}{2\sqrt{a}} \ln \left| \frac{x - \sqrt{a}}{x + \sqrt{a}} \right|_{0}^{1} = \frac{1}{2\sqrt{a}} \ln \left| \frac{1 - \sqrt{b}}{1 + \sqrt{b}} \right| \] Theo giả thiết ta có: \[ \left| \frac{1 - \sqrt{b}}{1 + \sqrt{b}} \middle| = \frac{1}{2} \Leftrightarrow 2 \left| 1 - \sqrt{b} \right| = \left| 1 + \sqrt{b} \right| \Leftrightarrow 3b - 10\sqrt{b} + 3 = 0 \Leftrightarrow \begin{cases} \sqrt{b} = \frac{1}{3} \\ \sqrt{b} = 3 \end{cases} \] \[ \Leftrightarrow \begin{cases} b = \frac{1}{9} \\ b = 9 \end{cases} \] Do \(b > 1\) nên \(b = 9 \Rightarrow a = -9\)

27

Câu 27:

Cho hàm số \(y = x^3 + bx^2 + cx + d\), \((b, c, d \in \mathbb{R})\) có đồ thị như hình vẽ sau:

![](images/0.jpg)

Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. \(b > 0, c < 0, d > 0\). B. \(b > 0, c > 0, d > 0\). C. \(b < 0, c > 0, d < 0\). D. \(b < 0, c < 0, d > 0\).

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Nhận diện đồ thị hàm bậc 3 cơ bản

## Lời giải

Đồ thị cắt trục tung tại tung độ nằm phía trên trục hoành nên \(d > 0\).

Trung điểm của điểm cực đại và điểm cực tiểu nằm bên phải trục tung nên ta có

\[ \frac{x_{CD} + x_{CT}}{2} > 0 \Leftrightarrow -\frac{b}{a} > 0 \Leftrightarrow \frac{b}{a} < 0 \Leftrightarrow b < 0. \]

Hoành độ hai điểm cực đại và cực tiểu trái dấu nên \(\frac{c}{a} < 0 \Leftrightarrow c < 0\).

A. \(b > 0, c < 0, d > 0\)

B. \(b > 0, c > 0, d > 0\)

C. \(b < 0, c > 0, d < 0\)

D. \(b < 0, c < 0, d > 0\). Đáp án đúng là D Phương pháp giải Nhận diện đồ thị hàm bậc 3 cơ bản ## Lời giải Đồ thị cắt trục tung tại tung độ nằm phía trên trục hoành nên \(d > 0\). Trung điểm của điểm cực đại và điểm cực tiểu nằm bên phải trục tung nên ta có \[ \frac{x_{CD} + x_{CT}}{2} > 0 \Leftrightarrow -\frac{b}{a} > 0 \Leftrightarrow \frac{b}{a} < 0 \Leftrightarrow b < 0. \] Hoành độ hai điểm cực đại và cực tiểu trái dấu nên \(\frac{c}{a} < 0 \Leftrightarrow c < 0\)

28

## Câu 28:

Một vật nặng treo bởi một chiếc lò xo, chuyển động lên xuống qua vị trí cân bằng. Khoảng cách \(l\) từ vật đến vị trí cân bằng ở thời điểm \(t\) giây được tính theo công thức \(l = |d|\) trong đó

\[d = 20\cos\left(10t + \frac{\pi}{6}\right)\text{cm}.\] Ta quy ước rằng \(d > 0\), khi vật ở trên vị trí cân bằng, \(d < 0\) khi vật ở dưới vị trí cân bằng. Hỏi trong dây đầu tiên, có bao nhiêu thời điểm vật ở xa vị trí cân bằng nhất? (nhập đáp án vào ô trống)

![](images/0.jpg)

Đáp án:

![](images/1.jpg)

Đáp án đúng là "2"

Phương pháp giải

Sử dụng tập giá trị của hàm số lượng giác

Lời giải

\[ \text{Ta có: } l = |d| = \left| 20\cos\left(10t + \frac{\pi}{6}\right) \right| \]

\[ \text{Ta có: } -20 \le 20\cos\left(10t + \frac{\pi}{6}\right) \le 20 \Rightarrow 0 \le \left| 20\cos\left(10t + \frac{\pi}{6}\right)\right| \le 20 \]

Do đó vật ở xa vị trí cân bằng nhất \(l_{\text{max}} = 20\) khi

\[ 20\cos\left(10t + \frac{\pi}{6}\right) = 20 \Leftrightarrow \cos\left(10t + \frac{\pi}{6}\right) = 1 \Leftrightarrow 10t + \frac{\pi}{6} = k2\pi \Leftrightarrow t = \frac{\pi}{60} + k\frac{\pi}{5} (k \in \mathbb{Z}) \]

Trong giây đầu tiên

\[ \Rightarrow 0 \le t \le 1 \Leftrightarrow 0 \le \frac{\pi}{60} + k\frac{\pi}{5} \le 1 \Leftrightarrow \frac{-\pi}{60} \le k\frac{\pi}{5} \le 1 - \frac{\pi}{60} \Leftrightarrow \frac{-1}{12} \le k \le \left(1 - \frac{\pi}{60}\right): \frac{\pi}{5} \]

\[ \Rightarrow k \in \{0;1\} \]

Vậy có hai lần vật ở xa vị trí cân bằng nhất.

29

Câu 29:

Phương trình \(\frac{\cos x}{x^2 + x} = \frac{1}{2}\) có bao nhiêu nghiệm?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4. Đáp án đúng là B Phương pháp giải Xét tương giao đồ thị hàm số Lời giải Tập xác định \(D = \mathbb{R} \setminus \{0; -1\}\) Phương trình đã cho tương đương \(2\cos x = x^2 + x\) (1) Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị hai hàm số \(y = 2\cos x\) và \(y = x^2 + x\) Ta có đồ thị hai hàm số \(y = 2\cos x\) và \(y = x^{2} + x\) ![](images/0.jpg) Từ đồ thị ta thấy, đồ thị hai hàm số chỉ cắt nhau tại 2 điểm phân biệt thỏa mãn yêu cầu bài toán. Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt

30

Câu 30:

Tìm giới hạn của dãy số: \(\begin{cases} u_1 = 3 \\ u_{n+1} = \frac{1}{2} \left( u_n + \frac{3}{u_n} \right), \text{ với } n \in \mathbb{N}^* \end{cases}\)

A. \(\sqrt{2}\)

B. \(2\sqrt{3}\)

C. \(\sqrt{3}\)

D. \(2\sqrt{2}\). Đáp án đúng là C Phương pháp giải Xét tính bị chặn của dãy \(u_n\) Lời giải Ta có: \(u_n > 0, \forall n \in \mathbb{N}^*\). Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có: \(u_{n+1} = \frac{1}{2} \left( u_n + 3 \frac{3}{u_n} \right) \geq \sqrt{3}, \forall n \in \mathbb{N}^*\) Vậy \(u_n\) là dãy bị chặn dưới. Vì \(u_n \geq \sqrt{3} \Rightarrow u_n^2 \geq 3 \Rightarrow u_{n+1} = \frac{1}{2} \left( u_n \right) \leq \frac{1}{2} \left( u_n + \frac{u_n^2}{u_n} \right)\) Dãy đã cho là dãy giảm. Vậy dãy có giới hạn. Đặt \(\lim_{n+1} = \lim_{n} = a\) Ta có: \(\lim_{n} = \lim \left[ \frac{1}{2} \left( u_n + \frac{3}{u_{n}} \right) \right] \Rightarrow a = \frac{1}{2} \left( a + \frac{3}{a} \right) \Rightarrow a^2 = 3 \Rightarrow a = \sqrt{3}\)

31

## Câu 31:

Đạo hàm của hàm số \(y = \frac{|x^2 + 3x - 1|}{x^2 - 1}\) là:

A. \(y' = \frac{-3(x^2 + 1)(x^2 + 3x - 1) \cdot |x^2 - 1|}{|x^2 + 3x - 1| \cdot (x^2 - 1)^3}\) C. \(y' = \frac{-3(x^2 + 1)}{(x^2 - 1)^3}\)

B. \(y' = \frac{-3(x^2 + 1)}{(x^2 - 1)^3}\). B. \(y' = \frac{-3(x^2 + 1)(x^2 - 1) \cdot |x^2 - 1|}{(x^2 + 3x - 1) \cdot (x^2 - 1)^3}\)

C. \(y' = \frac{-3(x^2 + 1) \cdot |x^2 - 1|}{(x^2 - 1)^2}\). ## Đáp án đúng là A ### Phương pháp giải Sử dụng công thức đạo hàm hàm giá trị tuyệt đối \(y = |f(x)| \Rightarrow y' = \frac{f'(x) \cdot f(x)}{|f(x)|}\) ### Lời giải Ta có: \(y = \frac{|x^2 + 3x - 1|}{x^3 - 1} \Rightarrow y' = \frac{\left(\frac{x^2 + 3x - 1}{x^2 - 1}\right)' \cdot \left(\frac{x^2 + 3x - 1}{x^2 - 2}\right)}{x^2 + 3x - 1}\) \[= \frac{-3(x^2 + 1)(x^2 + 3x -1) \cdot |x^2 - 1|}{|x^2 + 3 x - 1| \cdot (x^2 - 1)^3}\]

32

## Câu 32:

\[ \text{Cho hàm số: } f(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt{x^2 - 1} + \sqrt[3]{(x-1)^2}}{\sqrt{x-1}}, & \forall x > 1 \\ \frac{\sqrt[3]{x} - 1}{\sqrt{2} - \sqrt{x+1}}, & \forall -1 < x < 1 \end{cases} \]

A. \(m=1\)

B. \(m=2\)

C. \(m \in \{ \emptyset \} \)

D. \(m = \sqrt{2}\). ### Đáp án đúng là C ## Phương pháp giải Hàm số liên tục tại \(x = x_0\) nếu \(\lim_{x \to x_0^-} = \lim_{x \to x_0^+} = f(x_0) = a\) ## Lời giải Ta có: \[ \lim_{x \to 1^+} \frac{\sqrt{x^2 - 1} + \sqrt[3]{(x-1)^2}}{\sqrt{x-1}} = \lim_{x \to 1^+} \left( \frac{\sqrt{x^2 - 1}}{\sqrt{x-1}} + \frac{\sqrt[3]{(x-1)^2}}{\sqrt{x-1}} \right) = \lim_{x \to 1^+} \left( \sqrt{x+1} + \frac{(x-1)^{\frac{2}{3}}}{(x-1)^{\frac{1}{2}}} \right) = \lim_{x \to 1^+} \left( \frac{\sqrt{1+x} + (x-1)^{\frac{1}{6}}}{(x-1)^{\frac{1}{2}}} \right) = \sqrt{2} \] \[ \lim_{x \to 1^-} \frac{\sqrt[3]{x-1}}{\sqrt{2-\sqrt{x+1}}} = \lim_{x \to 1^-} \left( \frac{\sqrt[3]{x-1}}{\sqrt{2-\sqrt{x+1}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{x^2 + \sqrt{x+1}}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{2+\sqrt{x+1}}} } \right) = \lim_{x \to 1^-} \left( \frac{(x-1) \cdot \sqrt[3]{2+\sqrt{x+1}}}{(2-x-1) \cdot \sqrt[3]{x^2 + \sqrt[3]{x+1}}} \right) \] \[ = \lim_{x \to 1^-} \frac{-\left(\sqrt{2} + \sqrt{x+1}\right)}{\left(\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{x+1}\right)} = \frac{-2\sqrt{2}}{3} \] Ta thấy: \(\lim_{x \to 1^-} \lim_{x \to 1^-} = \lim_{x \to 1^-} \lim_{x \to 1^-} \lim_{x \to 1^-}\) Không tồn tại \(m\) để hàm số liên tục tại \(x = 1\)

33

## Câu 33:

Hoạt động của con người kể từ Cách mạng công nghiệp đã làm tăng số lượng các khí gây hiệu ứng nhà kính gây ảnh hưởng nghiêm trọng đến tầng ozon như: CO₂, CH₄, NO, CFC, ... Tại Việt Nam, lượng khí thải CO₂ năm 2022 là 344 triệu tấn, xếp thứ 17 trên toàn thế giới. Cứ mỗi năm lượng khí thải CO₂ tăng thêm 0,3% so với năm trước đó. Vậy đến năm 2030 lượng khí thải CO₂ tại Việt Nam là bao nhiêu? Giả sử tốc độ tăng giảm khí thải không có sự thay đổi. Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị. (nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án:

Đáp án đúng là "436"

## Phương pháp giải

Xác định số hạng tổng quát

## Lời giải

Năm 2022 lượng khí thải CO₂ là 344 triệu tấn ⇒ \(u_1 = 344\)

Năm 2023 lượng khí thải tăng thêm 0,3% so với năm 2022

\[ \Rightarrow u_2 = 344 + 344.0,3\% = 344(1 + 0,3\%) \]

Năm 2024 lượng khí thải tăng thêm 0,3% so với năm 2023

\[ \Rightarrow u_3 = 344(1 + 1,3\%) + 344(1 + 0,3\%) \cdot 0,3\% = 344(1 + 0,3\%)^2 \]

Tương tự như vậy ta có: \(u_n = 344.(1 + 0,3\%)^{n-1}, \forall n \in \mathbb{N}^*\)

Vậy năm 2030 lượng khí thải \(CO_2\) tại Việt Nam là:

\[ u_0 = 344.(1 + 0,3\%)^8 \approx 435,77 \approx 436 \text{ triệu tấn.} \]

34

## Câu 34:

Vào ngày sinh nhật của mình, Lan đã nhận được nhiều quà tặng từ người thân và bạn bè của mình. Ngày sinh nhật đó Lan nhận được 2 triệu đồng tiền mặt và cô bé quyết định tiết kiệm từ sau ngày sinh nhật đó đến sinh nhật tiếp theo của mình. Sau ngày sinh nhật đó, Lan thêm 10 nghìn đồng vào khoản tiết kiệm của mình. Vào ngày thứ hai sau sinh nhật, Lan thêm 20 nghìn đồng vào tài khoản đó. Vào ngày thứ ba, Lan thêm 30 nghìn đồng vào tài khoản đó. Tiếp tục theo cách này đến trước sinh nhật tiếp theo của mình thì tổng số tiền Lan tiết kiệm được là bao nhiêu, với số tiền ban đầu tiết kiệm là 2 triệu đồng?. Giả sử năm đó là năm không nhuận.

A. 5670000 đồng

B. 5000000 đồng

C. 5650000 đồng

D. 5630000 đồng. ## Đáp án đúng là C ### Phương pháp giải Sử dụng cấp số cộng ### Lời giải Ban đầu Lan có 2000000 đồng Quá trình tiết kiệm của Lan là một cấp số cộng với \(u_1 = 10, d = 10\) Theo công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng ta có: \(u_n = 10 + (n-1).10\) Một năm không nhuận có 365 ngày Vậy sau 1 năm Lan tiết kiệm thêm được: \(u_{365} = 10 + 364.10 = 3650\) Vậy tổng số tiền Lan tiết kiệm được cho đến trước ngày sinh nhật là: 5650000 đồng

35

Câu 35:

Hằng ngày ông An đều đi xe buýt đi làm từ nhà đến cơ quan. Dưới đây là bảng thống kê thời gian của 100 lần ông An đi xe buýt từ nhà đến cơ quan.

Thời gian	Số lần
[15;18)	22
[18;21)	38
[21;24)	27
[24;27)	8
[27;30)	4
[30;33)	1

Tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên làm tròn đến hàng đơn vị là bao nhiêu? (nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án:

![](images/0.jpg)

Đáp án đúng là "4"

Phương pháp giải

Sử dụng công thức tính toán tứ phân vị mẫu số liệu ghép nhóm

Lời giải

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là thuộc nhóm [18;21)

\[Q_1 = 18 + \frac{100}{4} - \frac{22}{38} = 693\]

Tứ phân vị thứ 3 của mẫu số liệu trên thuộc nhóm [21;24)

\[Q_3 = 21 + \frac{3.100}{4} - (22 + 38) = \frac{68}{3}\]

\[\Rightarrow \Delta Q = Q_3 - Q_1 = \frac{505}{114} \approx 4\]

36

Câu 36:

Cho các số thực dương \(a, b, c\) thỏa mãn \(a^{\log_2 5} = 32, b^{\log_3 4} = 27, c^{\log_{11} 16} = \sqrt{11}\). Tính
\[T = a^{(\log_2 5)^2} + b^{(\log_3 4)^2} + c^{(\log_{11} 16)^2}\]

A. 3193

B. 3260

C. 3710

D. 3560. Đáp án đúng là A Phương pháp giải Áp dụng công thức logarit Lời giải \[ \begin{align*} T &= a^{(\log_2 5)^2} + b^{(\log_3 3)^2} + c^{(\log_{11} 16)^2} \\ &= (a^{\log_2 5})^{\log_2 5} + (b^{\log_3 4})^{\log_3 4} + (c^{\log_{11} 16})^{\log_{11} 16} \\ &= (32)^{\log_2 5} + (27)^{\log_3 4} + (\sqrt{11})^{\log_{11} 16} \\ &= 2^{5\log_2 5} + 3^{3\log_3 4} + 11^{\frac{1}{2}\log_{11} 16} \\ &= 5^4 + 4^3 + 16^{\frac{1}{2}} = 3193 \end{align*} \]

37

Câu 37:

Cho đa thức \(f(x)\) thỏa mãn: \(\lim_{x \to 1} \frac{f(x) - 10}{x - 1} = 4\). Tính giới hạn: \(\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{3f(x) + 34} - 4}{2x^2 - 3x + 1}\).

A. \(\frac{1}{12}\)

B. \(\frac{1}{48}\)

C. \(\frac{1}{16}\)

D. \(\frac{1}{4}\). Đáp án đúng là D Phương pháp giải Tính giới hạn hàm số Lời giải \[ \exists x \exists y (x) = \frac{f(x) - 10}{x - 1} \Rightarrow f(x) = (x - 1)g(x) + 10 \] \[ \lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} (x - 1)g(x) + 10 \Rightarrow \lim_{x \to 1} f(x) = 10 \] Xét giới hạn: \[ \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{3f(x) - 34} - 4}{2x^2 - 3x + 1} = \lim_{x \to 1} \frac{3f(x) + 34 - 64}{(2x^3 - 3x + 1)(\sqrt[3]{3f(x) + 34})^2 + 4\sqrt[3]{3f(x) + 34} + 16} \] \[ \begin{align*} & = \lim_{x \to 1} \frac{3(f(x) - 10)}{(2x - 1)(x - 1) \left( \sqrt[3]{3(f(x) + 34)^2} + 4\sqrt[3]{3f(x) + 34} + 16 \right)} \\ & = \lim_{x \to 1} \left[ \frac{f(x) - 10}{(x - 1)} \cdot \frac{3}{(2x - 1) \left( \sqrt[3]{3(f(x) + 3^4)^2} + 4\sqrt[3]{3f(x) + 34} + \frac{16}{3} \right)} \right] \\ & = 4 \cdot \frac{3}{48} = \frac{1}{4} \end{align*} \]

38

Câu 38:

Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị nguyên của tham số \(m \in (-2025; 2025)\) bất phương trình:
\[
x^2 + 5^{\log_3 x} \geq m.x^{\log_{11}} \]
nghiệm đúng \(\forall x\) trên đoạn \([3; 9]\). Số phần tử của \(S\) là bao nhiêu? (nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án:

Đáp án đúng là "2025"

Phương pháp giải

Lời giải

Vì \(x \in [3; 9]\) nên bất phương trình luôn xác định

\[
\exists t \in [3; 9] \text{ nên bất phương trình luôn xác định}
\]

\[
\Rightarrow x^2 + 5^{\log_3 x} \geq mx^{\log_{11}} \Leftrightarrow 3^{2t} + 5^t \geq m. \left(3^t\right)^{\log_{11}} \Leftrightarrow 9^t + 5^t \geq m. 11^t
\]

\[
\text{Chia cả hai vế của bất phương trình cho } 11^t \text{ ta được: } \left( \frac{9}{11} \right)^t + \left( \frac{5}{11} \right)^t \geq m
\]

\[
\exists t \in [1; 2] \text{ nên bất phương trình luôn xác định}
\]

<	ref	>equation

\[
\Rightarrow x^2 + 5^{\log_3 x} \geq m x^{\log_{11}} \Leftrightarrow 3^{2t} + 5^t > m. \left(3^t\right)^{\log_{11}} \Leftrightarrow 9^{t} + 5^{t} > m. 11^{t}
\]

<	ref	>equation

\[
\Rightarrow x^2 + 5^{\log_3} \geq m x^{\log_{11}} \Leftrightarrow 3^{2t} > m. \left(3^t\right)^{\log_{11}} \Leftrightarrow 3^{2t} > m. \left( \frac{9}{11} \right)^t + \left( \left( \frac{5}{11} \right)^t \right)^{\log_{11}} \Leftrightarrow 3^{2t} > m. \left(\frac{9}{11}\right)^t + \left(\frac{5}{11}\right)^t \Leftrightarrow 3^{2t} > m. \left( \frac{9^t}{11^t} \right) + \left( \frac{5^t}{11^t} \right) \Leftrightarrow 3^{2t} > m. \left( \frac{9^{t}}{11^{t}} \right) + \left( \frac{5^{t}}{11^{t}} \right) \Leftrightarrow 3^{2t} > m. \left( \left( \frac{9}{11} \right)^t \right) + \left( \left( \frac{5}{11} \right)^t \left( \frac{9}{11} \right)^t \right) \Leftrightarrow 3^{2t} > m. \left( \sqrt[3]{\frac{9}{11}} \right)^t + \left( \left( \sqrt[3]{\frac{5}{11}} \right)^t \left( \sqrt[3]{\frac{9}{11}} \right)^t \right) \Leftrightarrow 3^{2t} > m. 11^t \Leftrightarrow 3^{2t} > m. 11^t \Leftrightarrow m > 11^t \Leftrightarrow m > 11^t \Leftrightarrow m > 1
\]

<	ref	>equation

\[
\Rightarrow x^2 + 5^{\log_3} > m x^{\log_{11}} \Leftrightarrow 3^{2t} > m. 11^t \Leftrightarrow x^2 + 5^{\log_3} > m. 11^t \Leftrightarrow x^2 + 5^{\log_{11}} > m. 11^t \Leftrightarrow x^2 + 5^{\log_1} > m. 11^t \Leftrightarrow x^2 + 5^{\log_{\frac{1}{11}}} > m. 11^t \Leftrightarrow x^2 + 5^{\log_{\sqrt[3]{\frac{1}{11}}}} > m. 11^t \Leftrightarrow x^2 + 5^{\log_{\log_{\frac{1}{11}}}} > m. 11^t \Leftrightarrow x^2 > m. 11^t \Leftrightarrow x^2 > m. 11^1 \Leftrightarrow x^2 > m. 11^1 \Leftrightarrow x^2 - m > 0 \Leftrightarrow x^2 > m. 11^1 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\log_1} > m. 11^{1} \Leftrightarrow x^2 + 5^{\log_1} > m. 11^{\frac{1}{11}} \Leftrightarrow x^2 + 5^{\log_1} > m. 11. 11 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\log_1} > m. 11 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\log_{\frac{1}{11}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\log_{\sqrt[3]{\frac{11}{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\log_{\log_{\frac{1}{11}}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\log_{\sqrt[3]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\log_{\sqrt[3]1}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\log_{\sqrt[3]\frac{1}{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\log_{\sqrt[4]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\log_{\sqrt{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\log_{\sqrt[5]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\log_{\sqrt{\frac{1}{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[6]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[7]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[8]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[9]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[10]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[11]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[12]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[13]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[14]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[15]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[16]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[17]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[18]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[19]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[20]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[21]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[22]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[23]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[24]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[25]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[26]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[27]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[28]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[29]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[30]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[31]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[32]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[33]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[34]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[35]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[36]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[37]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[38]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[39]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[40]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[41]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[42]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[43]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[44]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[45]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[46]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[47]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[48]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[49]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[50]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[51]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[52]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[53]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[54]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[55]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[56]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[57]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[58]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[59]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[60]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[61]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[62]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[63]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[64]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[65]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[66]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[67]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[68]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[69]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[70]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[71]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[72]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[73]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[74]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[75]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[76]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[77]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[78]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[79]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[80]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[81]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[82]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[83]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[84]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[85]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[86]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[87]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[88]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[89]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[90]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[91]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[92]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[93]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[94]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[95]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[96]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[97]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[98]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[99]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[100]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[101]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[102]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[103]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[104]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[105]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[106]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[107]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[108]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[109]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[110]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[111]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[112]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[113]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[114]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[115]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[116]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[117]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[118]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[119]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[120]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[121]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[122]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[123]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[124]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[125]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[126]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[127]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[128]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[129]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[130]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[131]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[132]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[133]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[134]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[135]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[136]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[137]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[138]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[139]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[140]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[141]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[142]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[143]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[144]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[145]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[146]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[147]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[148]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[149]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[150]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[151]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[152]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[153]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[154]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[155]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[156]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[157]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[158]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[159]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[160]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[161]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[162]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[163]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[164]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[165]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[166]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[167]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[168]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[169]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[170]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[171]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[172]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[173]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[174]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[175]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[176]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[177]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[178]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[179]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[180]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[181]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[182]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[183]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[184]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[185]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[186]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[187]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[188]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[189]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[190]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[191]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[192]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[193]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[194]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[195]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[196]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[197]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[198]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[199]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[200]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[201]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[202]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[203]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[204]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[205]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[206]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[207]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[208]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[209]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[210]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[211]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[212]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[213]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[214]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[215]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[216]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[217]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[218]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[219]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[220]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[221]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[222]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[223]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[224]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[225]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[226]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[227]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[228]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[229]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[230]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[231]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[232]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[233]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[234]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[235]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[236]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[237]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[238]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[239]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[240]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[241]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[242]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[243]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[244]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[245]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[246]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[247]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[248]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[249]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[250]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[251]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[252]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[253]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[254]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[255]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[256]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[257]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[258]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[259]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[260]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[261]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[262]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[263]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[264]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[265]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[266]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[267]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[268]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[269]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[270]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[271]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[272]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[273]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[274]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[275]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[276]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[277]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[278]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[279]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[280]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[281]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[282]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[283]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[284]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[285]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[286]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[287]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[288]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[289]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[290]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[291]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[292]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[293]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[294]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[295]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[296]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[297]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[298]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[299]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[300]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[301]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[302]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[303]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[304]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[305]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[306]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[307]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[308]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[309]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[310]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[311]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[312]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[313]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[314]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[315]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[316]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[317]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[318]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[319]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[320]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[321]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[322]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[323]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[324]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[325]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[326]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[327]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[328]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[329]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[330]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[331]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[332]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[333]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[334]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[335]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[336]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[337]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[338]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^2 + 5^{\sqrt[339]{11}}}} > 0 \Leftrightarrow x^
![](images/0.jpg)

Dựa vào bảng biến thiên \(\Rightarrow m \le \frac{106}{121}\)

Mà \(m\) nguyên và \(m \in (-2025; 2025) \Rightarrow S = \{-2024; -2023; \ldots, -1; 0\}\)

39

Câu 39:

Tính tổng các nghiệm của phương trình sau: \(\log_2 \frac{x^2 - 5x + 6}{2x^2 - x + 3} = -x^2 - 4x + 3\).

A. 3

B. -4

C. -3

D. -7. Đáp án đúng là B Phương pháp giải Ứng dụng hàm số trong giải phương trình logarit Lời giải Điều kiện xác định: \(\frac{x^2 - 5x + 6}{2x^2 - x +3} > 0 \Rightarrow x^2 - 5x + 6 > 0 \Leftrightarrow \begin{cases} x < 2 \\ x > 3 \end{cases}\) Ta có: \(\log_2 \frac{x^2 - 5x + 6}{2 x^2 - x + 3} = -x^2 - 4x + 1\) \[\Leftrightarrow \log_2 (x^2 - 5x + 6) - \log_2 (2x^2 - x + 3) = (x^2 - 5x + 6) - (2x^2 - x + 3)\] \[\Leftrightarrow \log_2 (x^2 - 5x +6) - (x^2 - 5x + 6) = \log_2 (2x^2 - x + 3) - (2x^3 - x + 3) (*)\] Xét hàm số: \(f(t) = \log_2 t + t\), điều kiện \(t > 0\) Ta có: \(f'(t) = \frac{1}{t \ln 2} + 1 > 0, \forall t > 0\) \(\Rightarrow\) Hàm số \(f(t)\) đồng biến trên khoảng \((0; +\infty)\) \[\Rightarrow (*) \Leftrightarrow f(x^2 - 5x + 6) = f(2x^2 - x + 3)\] \[ \Leftrightarrow x^2 - 5x + 6 = 2x^2 - x + 3 \] \[ \Leftrightarrow -x^2 - 4x + 3 = 0 \] \[ \Leftrightarrow \begin{cases} x = -2 + \sqrt{7} \\ x = -2 - \sqrt{7} \end{cases} \] Hai nghiệm đều thỏa mãn điều kiện Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm Tổng của hai nghiệm là -4

40

## Câu 40:

Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình thang với \(AB \parallel CD\) và \(CD = kAB\). Gọi \(M, N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AD, BC, G\) là trọng tâm tam giác \(SAB\). Xác định hệ số \(k\) để thiết diện của mặt phẳng \((GMN)\) với hình chóp \(S.ABCD\) là hình bình hành? (nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án:

![](images/0.jpg)

Đáp án đúng là "1/3"

Phương pháp giải

Xác định thiết diện dựa vào quan hệ song song

Lời giải

![](images/1.jpg)

Xác định thiết diện của hình chóp tạo bởi mặt phẳng \((GMN)\)

Vì \(M, N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB, BC \Rightarrow MN\) là đường trung bình của hình thang \(ABCD\)

\[ \Rightarrow MN \parallel AB \parallel CD \text{ và } MN = \frac{AB + CD}{2} \]

Xét hai mặt phẳng \((GMN)\) và \((SAB)\) có

\[
\begin{cases}
(GMN) \cap (SAB) = \{G\} \\
MN \parallel AB \\
MN \subset (GMN), AB \subset (SAB)
\end{cases}
\]

⇒ Giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng đi qua G và song song với AB, MN cắt SA, SB lần lượt tại Q, P ⇒ (GMN) ∩ (SAB) = PQ

Xét hai mặt phẳng \((GMN)\) và \((SBC)\) có \(P, N\) chung ⇒ \((GMN) \cap (SBC) = PN\)

Xét hai mặt phẳng \((GMN)\) và \((SAD)\) có \(M, Q\) chung ⇒ \((GMN) \cap (SAD) = MQ\)

Tương tự ta có: \((GMN) \cap (ABCD) = MN\)

Vậy thiết diện của hình chóp tạo bởi mặt phẳng \((GMN)\) là tứ giác: \(MNPQ\)

\[
\text{Ta có: } \frac{MN \parallel AB}{PQ \parallel AB} \Rightarrow MN \parallel PQ
\]

Để tứ giác \(MNPQ\) là hình bình hành thì \(MN = PQ\)

Gọi \(I\) là trung điểm \(AB\)

Xét \(\Delta SAB\) có \(MN \parallel AB\), theo định lý Talet ta có: \(\frac{SQ}{SA} = \frac{SP}{SB} = \frac{PQ}{AB} = \frac{SG}{SI} = \frac{2}{3}\)

\[
\Rightarrow PQ = \frac{2}{3} AB
\]

\[
\text{Mà: } MN = \frac{AB + CD}{2} = \frac{kAB + AB}{2} = \frac{AB(k+1)}{2}
\]

\[
\Rightarrow MN = PQ \Leftrightarrow \frac{(k+1)}{2} AB = \frac{2}{3} AB \Leftrightarrow \frac{k+1}{2} = \frac{2}{3} \Rightarrow k = \frac{1}{3}
\]

41

Câu 41:

Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có các cạnh đáy bằng \(a\), góc tạo bởi cạnh bên và đáy là \(60^\circ\). Hình chiếu vuông góc của \(A\) trùng với trung điểm \(B'C'\). Tính \(\tan(BC, AC')\).

A. 3

B. \(\frac{1}{3}\)

C. \(3\sqrt{2}\)

D. \(\frac{\sqrt{3}}{4}\). Đáp án đúng là A Phương pháp giải Xác định góc giữa hai đường thẳng chéo nhau Lời giải ![](images/0.jpg) Đáy là tam giác có các cạnh bằng nhau \(\Delta ABC\) là tam giác đều Gọi \(H\) là hình chiếu của \(A\) trên mặt phẳng \((A'B'C') \Rightarrow AH \perp (A'B'C'), H \in B'C'\) \(B'BCC'\) là hình bình hành \(\Rightarrow B'C' \parallel BC\) \[ \left( \overline{BC}, \overline{AC} \right) = \left( \overline{B'C'}, \overline{AC'} \right) = \overline{AC'B'} \Rightarrow \tan \left( BC, AC' \right) = \tan \overline{AC'B'} \] Hình chiếu vuông góc của \(AA'\) trên mặt phẳng \((A'B'C')\) là \(HA'\) \[ \Rightarrow (AA', (A'B'C')) = (AA', HA') = \overline{AA'H} = 60^\circ \] \[ Xét hai hình bình hành: ACC'A' và ABB'A' có \begin{cases} A'C' = A'B' = a \\ BB' = CC' = AA' \\ AC = AB = a \end{cases} \] \[ \Rightarrow ACC'A' = ABB'A' \] \[ \Rightarrow AB' = AC' \text{ (Hai đường chéo tương ứng)} \] \[ \Delta AB'C' \text{ cân tại } A \Rightarrow H \text{ là trung điểm } B'C' \] \[ \Rightarrow A'H = \frac{a\sqrt{3}}{2} \] Dễ dàng chứng minh được \(B'C' \perp (AA'H)\) \[ \text{Ta có: } \tan\left(\widehat{AA'H}\right) = \tan 60^\circ = \frac{AH}{A'H} \Rightarrow AH = A'H \cdot \tan 60^\circ = \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{3a}{2} \] \[ \text{Xét } \Delta AHC' \text{ vuông tại } H \text{ có: } \tan \widehat{A'CH} = \frac{\frac{3a}{2}}{\frac{HC'}{a}} = \frac{3}{2} = 3 \]

42

## Câu 42:

Cho hình chóp \(S.ABCD\) đáy là hình vuông cạnh \(a\). \(H\) là trung điểm \(AB,SH\) vuông góc với đáy, \(SH = a\). Tính sin góc giữa hai mặt phẳng: \((SAC), (SBC)\)?

A. \(\frac{\sqrt{3}}{4}\)

B. \(\frac{\sqrt{3}}{3}\)

C. \(\frac{\sqrt{5}}{5}\)

D. \(\frac{\sqrt{6}}{3}\) ## Đáp án đúng là C ### Phương pháp giải Sử dụng phương pháp diện tích hai mặt bên. Giả sử góc giữa hai mặt phẳng \((SAC)\) và \((SBC)\) là \(\alpha\). Khi đó ta có: \(V_{S.ABC} = \frac{2.S_{\Delta SAC}.S_{\Delta SBC}}{3SC}.\sin\alpha \Rightarrow \sin\alpha = \frac{3V_{S.ABC}.SC}{2.S_{\Delta SAC}.S_{\Delta SBC}}\) ## Lời giải ![](images/0.jpg) Ta có: \(V_{S.ABC} = \frac{1}{3}SH.S_{\Delta ACB} = \frac{1}{3}a.\frac{1}{2}a^2 = \frac{a^3}{6}\) Gọi góc giữa hai mặt phẳng \((SAC)\) và \((SBC)\) là \(\beta\). \[ \Rightarrow V_{S.ABC} = \frac{2.S_{\Delta SAC}.S_{\Delta S BC}}{3SC}.\sin\alpha \Rightarrow \sin\alpha = \frac{3V_{ S.ABC}.SC}{2.S_{\Delta SAC}.S_{\Delta S BC}} \] Xét \(\Delta BHC\) vuông tại \(B\) ta có: \[HC = \sqrt{BH^2 + BC^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + a^2} = \frac{a\sqrt{5}}{2}\] \[Xét \Delta SHC \text{ vuông tại } H \text{ có: } SC = \sqrt{SH^2 + HC^2} = \sqrt{a^2 + \frac{5a^2}{4}} = \frac{3a}{2}\] \[Xét \Delta SAB \text{ cân tại } S \text{ ta có: } SA = \sqrt{SH^2 + HA^2} = \sqrt{a^2 + \frac{a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{5}}{2}\] \[\Rightarrow SB = \frac{a\sqrt{5}}{2}\] AC là đường chéo của hình vuông ABCD có độ dài cạnh là \(a \Rightarrow AC = a\sqrt{2}\) Tính diện tích \(\Delta SAC\): Theo công thức heron ta có: \(S_{\Delta SAC} = \sqrt{p(p-SA)(p-SC)(p-AC)}\) Trong đó: \(p\) là nửa chu vi \(\Delta SAC\) \[p = \frac{a\sqrt{5} + 2a\sqrt{2} + 3a}{4}\] \[\Rightarrow S_{\Delta SAC} = \sqrt{a^4\left(\frac{-\sqrt{5}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{3}{4}\right)\left(\frac{\sqrt{5}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{3}{4}\right)\frac{\left(\sqrt{5} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{3}{4}\right)}{4} + \frac{\left(\sqrt{5} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{3}{4}\frac{3}{4}\right)}{4} = \frac{3a^2}{4}}\] Tính diện tích \(\Delta SBC\) Dễ dàng chứng minh được: \(BC \perp (SAB) \Rightarrow BC \perp SB \Rightarrow \Delta SBC\) vuông tại \(B\) \[\Rightarrow S_{\Delta SBC} = \frac{1}{2} SB.BC = \frac{1}{2} \cdot \frac{a\sqrt{5}}{2} \cdot a = \frac{a^2\sqrt{5}}{4}\] \[\text{Vậy ta có: } \sin\alpha = \frac{3V_{S.ABC}.SC}{2S_{\Delta SAC}.S_{\Delta SBC}} = \frac{3 \cdot \frac{a^3}{6} \cdot \frac{3a}{2}}{2 \cdot \frac{3a^2}{4} \cdot \frac{a^2\sqrt{5}}{2}} = \frac{\sqrt{5}}{5}\]

43

## Câu 43:

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật. Mặt bên \((SAB)\) đều cạnh bằng \(2a\), nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Khoảng cách từ điểm \(A\) đến \((SCD)\) bằng \(\frac{a}{2}\). Tính thể tích khối chóp?

A. \(V = \frac{a^3 \sqrt{33}}{11}\)

B. \(V = \frac{6a^3 \sqrt{11}}{11}\)

C. \(V = \frac{a^3 \sqrt{11}}{11}\)

D. \(V = \frac{2a^3 \sqrt{11}}{11}\). Đáp án đúng là D Phương pháp giải Xác định đường cao dựa vào dữ kiện mặt bên (SAB) đều, nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Áp dụng công thức tính thể tích Lời giải ![](images/0.jpg) Gọi \(H\) là trung điểm \(AB\) Vì mặt bên (SAB) đều, nằm trong mặt phẳng vuông gốc với đáy \[\Rightarrow SH \perp (ABCD)\] \[\Rightarrow V_{SABCD} = \frac{1}{3} \cdot SH \cdot S_{ABCD} \quad (1)\] \(SH\) là đường cao trong tam giác đều \(\Rightarrow SH = a\sqrt{3}\) Ta có: \(AB \parallel CD \Rightarrow AB \parallel (SCD) \Rightarrow d(A, (SCD)) = d(H; (SCD))\) Gọi \(M\) là trung điểm \(CD \Rightarrow HM \perp CD\) Dễ dàng chứng minh được \(CD \perp (SHM)\) Trong \(\Delta SHM\) kẻ \(HK \perp SM\) \[\text{Ta có: } \begin{cases} HK \perp SM \\ CD \perp (SHM) \Rightarrow CD \perp HK \end{cases} \Rightarrow HK \perp (SCD)\] \[d(H; (SCD)) = HK = \frac{a}{2}\] Xét \(\Delta SHM\) vuông tại \(H\) có \(HK\) là đường cao \[ \Rightarrow \frac{1}{HK^2} = \frac{1}{SH^2} + \frac{1}{HM^2} \Rightarrow \frac{1}{HM^2} = \frac{1}{HK^2} - \frac{1}{SH^2} = \frac{1}{\left(\frac{a}{2}\right)^2} - \frac{1}{3a^2} = \frac{11}{3a^2} \Rightarrow HM = \frac{\sqrt{33}}{11}a \] \[ \Rightarrow AD = \frac{a\sqrt{33}}{11} \] \[ \Rightarrow S_{ABCD} = AD \cdot AB = 2a \cdot \frac{a\sqrt{33}}{11} = \frac{2a^2\sqrt{33}}{11} \] Vậy thể tích khối chóp là: \(V = \frac{1}{3} \cdot a \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{2a^2 \cdot \sqrt{33}}{11} = \frac{2a^3 \cdot \sqrt{11}}{11}\)

44

## Câu 44:

Hai xạ thủ cùng bắn, mỗi người hai viên đạn bắn vào bia một cách độc lập với nhau. Xác suất để lần thứ nhất người thứ nhất bắn trúng là 0,4, lần thứ hai người đó bắn trúng là 0,3. Xác suất để người thứ hai bắn trúng cả hai lần lần lượt là 0,5 và 0,4. Tính xác suất để ở cả hai lượt bắn đều có đúng 1 người bắn trúng bia?

A. 0,184

B. 0,28

C. 0,421

D. 0,164. ## Đáp án đúng là A ### Phương pháp giải Tính chất của xác suất ### Lời giải Người thứ nhất: Xác suất bắn trúng lần 1 là: \(P(A_1) = 0,4 \Rightarrow\) Xác suất bắn trượt lần 1 là: \(P(A_1) = 0,6\) Xác suất bắn trúng lần 2 là \(P(A_2) = 0,3 \Rightarrow\) Xác suất bắn trượt lần 2 là: \(P(A_2) = 0,7\) Người thứ hai: Xác suất bắn trúng lần 1 là: \(B_1 = 0,5 \Rightarrow\) Xác suất bắn trượt lần 1 là \(B_1 = 0,5\) Xác suất bắn trúng lần 2 là: \(B_2 = 0,4 \Rightarrow\) Xác suất bắn trượt lân 2 là \(B_2 = 0,6\) Gọi \(C\): “Ở cả hai lượt bắn đều có người bắn trúng bia” Lần thứ nhất: TH1: Người thứ nhất bắn trúng, người thứ hai bắn trượt: \[P(A_1).P(B_1) = 0,4,0,5 = 0,2\] TH2: Người thứ nhất bắn trượt, người thứ hai bắn trúng: \[P(A_1).P(B_1) = 0,4.0,5 = 0,2\] \[\Rightarrow P_1 = 0,2 + 0,2 = 0,4\] Lần thứ hai: TH1: Người thứ nhất bắn trúng, người thứ hai bắn trượt: \[P(A_2).P(B_2) = 0,3,0,6 = 0,18\] TH2: Người thứ nhất bắn trượt, ngưòi thứ hai bắn trúng: \[P(A_2).P(B_2) = 0,7,0,4 = 0,28\] \[P_2 = 0,28 + 0,18 = 0,46\] Vì kết quả của cả hai lần bắn là độc lập với nhau nên \(P = P_1.P_2 = 0,46.0,4 = 0,184\)

45

Câu 45:

Xác định hệ số của \(x^6\) trong khai triển \(\left(\frac{1}{x^5} - 4x^3\right)^n\) biết \(n\) thỏa mãn: \(C_n^2 + 3C_n^3 = 405\)

A. \(C_{10}^7(4)^7\)

B. \(C_{10}^6(-4)^6\)

C. \(C_{10}^7(-4)^7\)

D. \(C_{10}^6.4^6\). Đáp án đúng là C Phương pháp giải Áp dụng công thức tổ hợp Lời giải \[C_n^2 + 3C_n^3 = 405\] \[\Leftrightarrow \frac{n!}{2!(n-2)!} + 3\frac{n!}{3!(n-3)!} = 405\] \[\Leftrightarrow \frac{1}{2}n(n-1) + \frac{1}{2}n(n-1)(n-2) = 405\] \[\Leftrightarrow n^2 - n + (n^2 - n)(n-2) = 810\] \[\Leftrightarrow n^2 - n + (n^3 - 3n^2 + 2n) = 810\] \[ \Leftrightarrow n^2 - n + n^3 - 3n^2 + 2n = 810 \] \[ \Leftrightarrow n^3 - 2n^2 + n - 810 = 0 \Rightarrow n = 10 \] Xét khai triển: \[ \left( \frac{1}{x^5} - 4x^3 \right)^{10} = \sum_{k=0}^{10} C_{10}^k \left( \frac{1}{x^5} \right)^{10-k} \cdot (-4x^3)^k = \sum_{0}^{10} C_{10}^k \cdot (-4)^k \cdot x^{5k-50} \cdot x^{3k} = \sum_{0}^{10} C_{10}^k \cdot (-4)^k x^{8k-50} \] Số hạng chứa \(x^6 \Rightarrow 8k - 50 = 6 \Rightarrow k = 7\) Vậy hệ số của \(x^6\) trong khai triển trên là: \(C_{10}^7(-4)^7\)

46

## Câu 46:

Cho một đa giác gồm 8 đỉnh. Ta chia đa giác thành các tam giác bằng cách vẽ các đường chéo không cắt nhau trong đa giác. Hỏi có bao nhiêu cách chia như vậy? (nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án:

![](images/0.jpg)

Đáp án đúng là "132"

Phương pháp giải

Áp dụng công thức: Số cách chia \(= \frac{1}{N+1} \cdot C_{2N}^N\) với \(N =\) số đỉnh - 2

Lời giải

Ta dùng dãy số Catalan

Ta có: Số cách chia \(= \frac{1}{N+1} \cdot C_2^N\) với \(N =\) số đỉnh - 2

\[ \Rightarrow \text{Số cách chia: } \frac{1}{6+1} \cdot C_{12}^6 = 132 \]

47

## Câu 47:

Viết 1 số thích hợp vào chỗ trống: 1; 2; 3; 8; 19; 46; 111;....

(nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án:

![](images/1.jpg)

Đáp án đúng là "268"

Phương pháp giải

Tìm ra quy luật của dãy số

## Lời giải

Ta thấy: kể từ số hạng thứ 3 trở đi dãy số sau sẽ tuân theo quy luật:

\[u_n = 2u_{n-1} + u_{n-2}, \forall n \geq 4\]

Vậy số cần điền là 268

48

## Câu 48:

Công thức nào sau đây là đúng?

\[A. C_n^k = \frac{k!}{(n-k)!}.\]

\[B. C_n^k = C_n^{n-k}.\]

\[C. C_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}.\]

\[D. C_n^k = \frac{(n-k)!}{n!k!}.\]

## Đáp án đúng là B

### Phương pháp giải

Công thức tổ hợp

## Lời giải

Dựa vào công thức và tính chất của tổ hợp, ta có: \(C_n^k = C_n^{n-k}\).

A. C_n^k = \frac{k!}{(n-k)!}.\] \[

B. C_n^k = C_n^{n-k}.\] \[

C. C_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}.\] \[

D. C_n^k = \frac{(n-k)!}{n!k!}.\] ## Đáp án đúng là B ### Phương pháp giải Công thức tổ hợp ## Lời giải Dựa vào công thức và tính chất của tổ hợp, ta có: \(C_n^k = C_n^{n-k}\)

49

## Câu 49:

Cho \(a\) và \(b\) là hai số thực dương thỏa mãn \(\log_3 a = \log_9 (ab)\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

\[A. a = b^2.\]

\[B. a = b.\]

\[C. a^3 = b.\]

\[D. a^2 = b\]

## Đáp án đúng là B

### Phương pháp giải

Công thức logarit

## Lời giải

Ta có: \(\log_3 a = \log_9 (ab) \Leftrightarrow \log_3 a = \log_3 \sqrt{ab} \Leftrightarrow a = \sqrt{ab} \Leftrightarrow a = b\)

A. a = b^2.\] \[

B. a = b.\] \[

C. a^3 = b.\] \[

D. a^2 = b\] ## Đáp án đúng là B ### Phương pháp giải Công thức logarit ## Lời giải Ta có: \(\log_3 a = \log_9 (ab) \Leftrightarrow \log_3 a = \log_3 \sqrt{ab} \Leftrightarrow a = \sqrt{ab} \Leftrightarrow a = b\)

50

## Câu 50:

Bạn đang đứng trước hai cánh cửa, một cánh cửa dẫn đến thiên đường, một cánh cửa dẫn đến địa ngục. Có hai người đứng gác cửa, một người luôn nói dối, một người luôn nói thật. Bạn không biết cánh cửa nào dẫn đến địa ngục, cũng không biết ai nói dối hay nói thật. Làm thế nào bạn chỉ cần hỏi

một câu hỏi duy nhất để biết chắc chắn cánh cửa nào dẫn đến thiên đường?

A. Bạn hỏi: "Cánh cửa này là đến thiên đường?"

B. Bạn hỏi: "Anh là người nói thật đúng không?"

C. Bạn hỏi "Nếu tôi hỏi người kia, anh ta sẽ bảo cánh cửa nào dẫn đến thiên đường?"

D. Bạn hỏi: "Tôi đi cánh cửa nào sẽ dẫn đến thiên đường". ## Đáp án đúng là C ### Phương pháp giải Bạn cần hỏi câu hỏi để cả hai người cùng chỉ ra cánh cửa đến thiên đường? ### Lời giải Đáp án: C Phân tích cách trả lời: Nếu tôi hỏi người kia, anh ta sẽ bảo cán h cửa nào dẫn đến thiên đường + Nếu bạn hỏi người nói thật: Người nói thật sẽ trung thực và nói bạn câu trả lời mà người nói dối sẽ đưa ra. Người nói dối sẽ luôn chỉ vào cánh cửa sai. Vì vậy, người nói thật sẽ chỉ vào cánh cửa sai khi trả lời câu hỏi này. + Nếu bạn hỏi người nói dối: Người nói dối sẽ nói dối về câu trả lời mà người nói thật sẽ đưa ra. Người nói thật sẽ chỉ vào cánh cửa đúng, nhưng người nói dối lại chỉ ngược lại, tức là cánh cửa sai. ### Kết luận: Bất kể bạn hỏi ai, câu trả lời luôn chỉ vào cánh cửa sai. Vì vậy, bạn chỉ cần chọn cánh cửa còn lại để đến thiên đường. ## ---