Đề đánh giá năng lực HSA Toán học số 41 - Làm bài thi

1

Câu 2:

Vận tốc chạy lớn nhất của vận động viên \(A\) trong khoảng 20 giây theo đơn vị m/s tính từ khi bắt đầu

xuất phát là

A. 4

B. 5

C. 6

D. 7 Đáp án đúng là C Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất của hàm số. Lời giải \[ \nu_A'(t) = \frac{1}{150} t^2 - \frac{47}{225} t + \frac{64}{45} = 0 \Leftrightarrow \begin{cases} t = 10(TM) \\ t = \frac{64}{3}(KTM) \end{cases}. \] Ta thấy \(\nu_A(0) = 0, \nu_A(20) = \frac{40}{9}, \nu_A(10) = 6\). Vậy \(\max_{[0;20]} \nu_A(t) = 6\)

2

Câu 3:

Sau 30 giây tính từ khi bắt đầu xuất phát, hai vận động viên cách nhau một khoảng bằng bao nhiêu mét?

A. 60

B. 50

C. 55

D. 65 Đáp án đúng là A Phương pháp giải Sử dụng tích phân để tính độ dài quãng đường. Lời giải Đồ thị hàm số \(y = at^2 + bt + c\) đi qua các điểm \((0;0), (5;2), (15;4)\) nên \(y = -\frac{1}{75}t^2 + \frac{7}{15}t\). Ta có: \[ S_1 = \int_0^{30} \nu_A(t) dt = \int_0^{30} \left( \frac{1}{450} t^3 - \frac{47}{450} t^2 + \frac{64}{45} t \right) dt = 150(m), \quad S_2 = \int_0^{30} \nu_B(t) dt = \int_0^{30} \left( -\frac{1}{75} t^2 + \frac{7}{15} t \right) dt = 90(m). \] Vậy khoảng cách giữa hai vận động viên là \(150 - 90 = 60(m)\)

3

Câu 4:

Biết rằng một trong hai vận động viên có vận tốc khi về đích bằng 0, khi đó chênh lệch giữa thời gian hoàn thành đường chạy của hai vận động viên khoảng bao nhiêu giây?

A. 12

B. 13

C. 14

D. 15 Đáp án đúng là D Phương pháp giải Sử dụng tích phân để tính độ dài quãng đường. Lời giải Do \(v_A(t) > 0 \forall t > 0\), ta thấy vận động viên \(B\) về đích với vận tốc bằng 0. \[Khi đó -\frac{1}{75}t^2 + \frac{7}{15}t = 0 \Rightarrow t = 35(t > 0).\] \[\text{Độ dài đường chạy là } S = \int_0^{35} v_B(t) dt = \int_0^{35} \left(-\frac{1}{75}t^2 + \frac{7}{15}t\right) dt = \frac{1715}{18} (m).\] Đặt \(t = a\) là thời điểm vận động viên \(A\) hoàn thành đường chạy. \[Khi đó S = \int_0^a v_A(t) dt = \int_0^a \left(-\frac{1}{450}t^3 - \frac{47}{450}t^2 + \frac{64}{45}t\right) dt = \frac{a^4}{1800} - \frac{47a^3}{1350} + \frac{32x^2}{45} (m) \\ \Rightarrow \frac{a^4}{1800} - \frac{47a^3}{1355} + \frac{32a^2}{45} = \frac{1715}{18}.\] Sử dụng máy tính cầm tay, ta có \(a \approx 20,1\). Như vậy chênh lệch thời gian hoàn thành đường chạy là \(35 - 20,1 = 14,9\) giây

4

Câu 5:

Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) có bảng xét dấu đạo hàm dưới đây. Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị?

x	-∞	-3	0	1	2	5	6	+∞
f'(x)	-	0	+	0	-	0	+	-

A. 2

B. 4

C. 5

D. 6. Đáp án đúng là B Phương pháp giải Nhìn bảng xét dấu đạo hàm. Lời giải ![](images/0.jpg) Điểm cực trị là các điểm mà khi đi qua đó, đạo hàm đổi dấu. Lưu ý, tại một số điểm ở đó đạo hàm khi đi qua sẽ đổi dấu, dù đạo hàm không tồn tại nhưng hàm số vẫn liên tục, nên các điểm đó vẫn là điểm cực trị. Đồng thời, tại một số điểm, dù đạo hàm bằng 0 nhưng đạo hàm khi đi qua đó không đổi dấu thì vẫn không được xét là điểm cực trị

5

## Câu 6:

Mặt phẳng song song với mặt phẳng (Oyz) và đi qua điểm K(4;5;7) có phương trình

A. \(7y + 5z = 0\)

B. \(x - 4 = 0\)

C. \(y + 5 = 0\)

D. \(z - 7 = 0\). ## Đáp án đúng là B ### Phương pháp giải Viết phương trình mặt phẳng. ### Lời giải Mặt phẳng song song với mặt phẳng (Oyz) nên có vectơ pháp tuyến là (1;0;0), đồng thời đi qua điểm K(4;5;7) nên có phương trình là \(x - 4 = 0\)

6

## Câu 7:

Phương trình chính tắc của đường trung tuyến tại đỉnh A của tam giác ABC, với \(A(1;3;2)\), \(B(1;2;1)\), \(C(4;1;1)\), là

A. \(\frac{x-1}{1} = \frac{y-3}{3} = \frac{z-2}{2}\). C. \(\frac{x-1}{3} = \frac{y-3}{-3} = \frac{z-2}{2}\)

B. \(\frac{x-1}{3} = \frac{y-3}{-3} = \frac{z-2}{2}\). B. \(\frac{x-1}{5} = \frac{y-3}{3} = \frac{z-2}{2}\)

7

Câu 8:

Cho biểu thức lượng giác \(P = \frac{\sin^3\theta}{\sin\theta - 1} - \frac{\sin^2\theta}{1 + \sin\theta}\).

Rút gọn biểu thức \(P\), ta được biểu thức có dạng \(atan^2\theta(b + \sin^2\theta)(a, b \in \mathbb{Z})\). Khi đó \(a + b\) bằng

Đáp án:

Đáp án đúng là "0"

Phương pháp giải

Sử dụng công thức lượng giác.

Lời giải

\[
\begin{align*}
P &= \frac{\sin^3\theta}{\sin\theta - 1} - \frac{\sin^{2}\theta}{1 + \sin\theta} = \frac{\sin^3\theta(1 + \sin\theta) - \sin^2\theta(\sin\theta - 1)}{(\sin\theta - 1)(1 + \sin\theta)} = \frac{\sin^4\theta + \sin^2\theta}{\sin^2\theta - 1} = \frac{\sin^2\theta(1 + \sin^2\theta)}{-\cos^2\theta} \\
&= -\tan^2\theta(1 + \sin^2\theta) \\
&\Rightarrow a = -1, b = 1 \\
&\Rightarrow a + b = 0.
\end{align*}
\]

8

Câu 9:

\[
\text{Cho hàm số } f(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt{x} - 1}{x - 1} & \text{khi } x > 1 \\ ax - \frac{1}{2} & \text{khi } x \le 1 \end{cases}. \text{ Hàm số đã cho liên tục tại điểm } x = 1 \text{ khi và chỉ khi}
\]

A. \(a = 2\)

B. \(a = 1\)

C. \(a = \frac{3}{2}\)

D. \(a = \frac{1}{2}\). Đáp án đúng là B Phương pháp giải Phương pháp liên hợp Lời giải \[ \text{Ta có } \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} \frac{\sqrt{x} - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1^+} \frac{\sqrt{x} -1}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} = \lim_{x \to 1^+} \frac{1}{\sqrt{x} + 1} = \frac{1}{2} \] \[ \text{Và } \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} \left( ax - \frac{1}{2} \right) = a - \frac{1}{2} = f(1). \] Hàm số đã cho liên tục tại điểm \(x=1\) khi và chỉ khi: \[ \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1) \Leftrightarrow \frac{1}{2} = a - \frac{1}{2} \Leftrightarrow a = 1. \]

9

## Câu 10:

Hàm số \(y = \sqrt{x^2 + 3} - \frac{1}{2}x - 1\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. \((-1;1)\)

B. \((-3;0)\)

C. \((0;+\infty)\)

D. \((1;5)\). ## Đáp án đúng là A ### Phương pháp giải Sử dụng đạo hàm để khảo sát hàm số. ### Lời giải Ta có \[ y' = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 3}} - \frac{1}{2} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{x}{\sqrt{x^2 + 3}} \geq \frac{1}{2} \Leftrightarrow 2x \geq \sqrt{x^2 + 3} \Leftrightarrow 4x^2 \geq x^2 + 3 \Leftrightarrow \begin{cases} x \geq 1 \\ x \leq -1 \end{cases}. \]

10

## Câu 11:

Tập nghiệm của bất phương trình \(9^x + 2.3^x - 3 > 0\) là

A. \((-\infty; -3)\)

B. \((1;+\infty)\)

C. \((0;+\infty)\)

D. \((-3;1)\). ### Đáp án đúng là C ### Phương pháp giải Đặt ẩn phụ và giải bất phương trình mũ. ### Lời giải Đặt ẩn phụ \(t = 3^x > 0\), bất phương trình trở thành \[ t^2 + 2t - 3 > 0 \Leftrightarrow \begin{cases} t < -3 \\ t > 1 \end{cases} \begin{cases} (KTM) \\ (TM) \end{cases} \Rightarrow 3^x > 1 \Leftrightarrow x > 0. \] Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \((0;+\infty)\)

11

Câu 12:

Trong không gian \(Oxyz\), khoảng cách giữa hai đường thẳng \(d: \frac{x-2}{1} = \frac{y}{-8} = \frac{z-2}{-9}\) và \(d': \frac{x}{1} = \frac{y}{6} = \frac{z}{5}\) bằng bao nhiêu?

A. \(\frac{2}{3}\)

B. \(\frac{2\sqrt{3}}{3}\)

C. \(\frac{4}{3}\)

D. \(\frac{4\sqrt{3}}{3}\). Đáp án đúng là D Phương pháp giải Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng. Lời giải Ta có \(\overline{u_d} = (1; 6; 5)\), \(\overline{u_{d'}} = (1; -8; -9) \Rightarrow [\overline{u_d}, \overline{u_{d'}}] = (14; -14; 14)\). Như vậy \(d(d, \Delta) = \frac{|[\overline{u_d}, \overline{u_{d'}}] \cdot \overline{AB}|}{|[\overline{u_d}, \overline{u_{d'}}]|} = \frac{|(14; -14; 14) \cdot (2; 0; 2)|}{|(14; -14; 14)|} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}\)

12

Câu 13:

Cho dãy số \((u_n)\), biết \(u_1 = 8, u_{n+1} = 4u_n - 9 (n \in \mathbb{N}^*)\). Công thức số hạng tổng quát của dãy đã cho là

A. \(u_n = 3 + 5 \cdot (-3)^{n-1}\)

B. \(u_n = 5 \cdot (-3)^{n-1}\)

C. \(u_n = 3 + 5 \cdot 4^{n-1}\)

D. \(u_n = 5 + 4^{n-1}\). Đáp án đúng là C Phương pháp giải Viết số hạng tổng quát của dãy số. Lời giải Đặt \(v_n = u_n - 3\) với \(n \in \mathbb{N}^*\). Ta có: \(v_1 = u_1 - 3 = 8 - 3 = 5\). Vì \(v_{n+1} = u_{n+1} - 3 = 4u_n - 9 - 3 = 4u_n - 12 = 4(u_n - 3) = 4v_n\) với mọi \(n \in \mathbb{N}^*\) nên dãy số là một cấp số nhân có số hạng đầu \(v_1 = 5\), công bội \(q = 4\). Suy ra \(v_n = 5 \cdot 4^{n-1}\), \(u_n = 3 + v_n = 3 + 5 \cdot 4^{n-1}\). Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y = \frac{x^2 + 3}{\sqrt{x^2 + 1}}\) có dạng \(y = ax + b\) trong đó \(a < 0\). Giá trị biểu thức \[P = a^2 + b \text{ bằng}\] Đáp án: ![](images/0.jpg) Đáp án đúng là "1" Phương pháp giải Sử dụng phương pháp tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số. Lời giải Ta có: \[\lim_{x \to +\infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{\sqrt{x^2 + x}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{\sqrt{x^2}} = 1 > 0.\] \[\lim_{x \to -\infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} = \lim_{x\to -\infty} \frac{x}{\sqrt{x^2}} = -1 < 0.\] \[\lim_{x \to -\infty} (y + x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2 + 3}{\sqrt{x^2 + 1}} + x = \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2 + 3 - x^2}{\sqrt{x^2}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2 \left(1 - \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}\right) + 3}{(-x) \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}} = 0.\] Vậy \(y = -x\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số thỏa mãn yêu cầu. Nghĩa là, \(P = (-1)^2 + 0 = 1\)

13

Câu 15:

Ba số tự nhiên lập thành một cấp số cộng có tổng là 21. Nếu số thứ hai trừ đi 1 và số thứ ba cộng thêm 1 thì ba số đó lập thành một cấp số nhân. Khi đó số cấp số cộng thỏa mãn là

Đáp án:

![](images/1.jpg)

Đáp án đúng là "2"

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất của cấp số cộng và cấp số nhân.

## Lời giải

Gọi \((u_n)\) là cấp số cộng có công sai \(d\), do tổng 3 số hạng liên tiếp của dãy số cộng là 21 nên
\[
\begin{align*}
u_1 + u_2 + u_3 &= 21 \\
\Rightarrow 3u_2 &= 21 \\
\Rightarrow u_2 &= 7.
\end{align*}
\]

Nếu số thứ hai trừ đi 1 và số thứ ba cộng thêm 1 thì ba số đó lập thành một cấp số nhân thì
\(u_1, u_2 - 1, u_3 + 1\) hay \(7 - d, 7 - 1, (7 + d) + 1\) lập thành một cấp số nhân.

Theo tính chất của cấp số nhân ta có

\[
6^2 = (7 - d)(8 + d) \Leftrightarrow \begin{cases} d = -5 \Rightarrow u_1 = 12, u_2 = 7, u_3 = 2 \\ d = 4 \Rightarrow u_1 = 3, u_2 = 7, u_3 = 11 \end{cases}
\]

Vậy có 2 bộ số cần tìm: \((12, 7, 2), (3, 7, 11)\).

14

## Câu 16:

Giả sử \(\frac{\sin\alpha}{6}, \cos\alpha, \tan\alpha\) theo thứ tự là một cấp số nhân. Tính \(\cos 2\alpha\).

## Đáp án:

### Đáp án đúng là "-1/2"

### Phương pháp giải

Sử dụng kiến thức về cấp số nhân.

### Lời giải

\[
\overrightarrow{Diều kiện: \cos\alpha \neq 0 \Leftrightarrow \alpha \neq \frac{\pi}{2} + k\pi (k \in \mathbb{Z})}.
\]

\[
\Rightarrow 6\cos^3\alpha - \sin^2\alpha = 0 \Leftrightarrow 6\cos^3\alpha + \cos^2\alpha - 1 = 0 \Leftrightarrow \cos\alpha = \frac{1}{2}.
\]

\[
\Rightarrow 6\cos^3\alpha - \sin^2\alpha \neq 0 \Leftrightarrow 6\cos^3\alpha + \cos^2\alpha - 2 = 0 \Leftrightarrow \cos\alpha = \frac{1}{2}.
\]

Ta có: \(\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = 2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 - 1 = -\frac{1}{2}\).

![](images/0.jpg)

15

Câu 17:

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để hàm số \(y = \frac{\cos x - 3}{\cos x - m}\) nghịch biến trên khoảng \(\left(\frac{\pi}{2}; \pi\right)\)?

Đáp án:

![](images/0.jpg)

Đáp án đúng là "2"

Phương pháp giải

Đặt ấn phụ, đưa về bài toán xét tính đơn điệu của hàm số cơ bản.

Lời giải

Đặt \(t = \cos x\), với \(x \in \left(\frac{\pi}{2}; \pi\right) \Rightarrow t \in (-1; 0)\).

Lưu ý: Nhận thấy \(\cos x\) nghịch biến trên \(\left(\frac{\pi}{2}; \pi\right)\), do vậy để hàm số \(y = \frac{\cos x - 3}{\cos x - m} \) nghịch biến trên khoảng \(\left(\frac{\pi}{2}; \pi \right)\) thì hàm số \(y = \frac{t - 3}{t - m}\) đồng biến trên khoảng \((-1; 0)\). Tức là, phải thay đổi tính đơn điệu.

Xét hàm số \(f(t) = \frac{t - 3}{t - m}\) trên \((-1; 0)\). Tập xác định: \(D = \mathbb{R} \setminus \{m\}\).

Ta có \(f'(t) = \frac{-m + 3}{(t - m)^2} > 0 \Leftrightarrow \begin{cases} 3 - m > 0 \\ m \notin (-1; 0) \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m < 3 \\ m \geq 0 \Leftrightarrow m \in (-\infty; -1] \cup [0; 3). \end{cases}\)

16

Câu 18:

Một đường cong trên mặt phẳng tọa độ có phương trình mô tả \(x\) và \(y\) theo tham số \(t\) như sau:

\[\begin{cases} x = 4e^{2t} \\ y = 5e^{-t}\cos 2t \end{cases}, t \in \left[-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4}\right].\]

A. \(\frac{-5\cos 2t + 10\sin 2t}{8e^{2t}}\). B. \(\frac{-5\cos 2t - 10\sin 2t}{8e^{2t}}\).

C. \(\frac{-5\cos 2t - 10\sin 2t}{8e^3t}\). D. \(\frac{-5\cos 2t + 10\sin 2t}{8e^2t}\).

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Sử dụng đạo hàm của hàm số hợp.

## Lời giải

\[ \text{Ta có } y'(t) = y'(x).x'(t) \Rightarrow y'(x) = \frac{y'(t)}{x'(t)} = \frac{-5e^{-t}\cos2t - 10e^{-t}\sin2t}{8e^{2t}} = \frac{-5\cos2t - 10\sin2t}{8e^{3t}}. \]

A. \(\frac{-5\cos 2t + 10\sin 2t}{8e^{2t}}\)

B. \(\frac{-5\cos 2t - 10\sin 2t}{8e^{2t}}\)

C. \(\frac{-5\cos 2t - 10\sin 2t}{8e^3t}\)

D. \(\frac{-5\cos 2t + 10\sin 2t}{8e^2t}\). Đáp án đúng là C Phương pháp giải Sử dụng đạo hàm của hàm số hợp. ## Lời giải \[ \text{Ta có } y'(t) = y'(x).x'(t) \Rightarrow y'(x) = \frac{y'(t)}{x'(t)} = \frac{-5e^{-t}\cos2t - 10e^{-t}\sin2t}{8e^{2t}} = \frac{-5\cos2t - 10\sin2t}{8e^{3t}}. \]

17

## Câu 19:

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = \frac{2 + 3\ln x}{1 + 2x}\) tại điểm \(\left(1; \frac{2}{3}\right)\) là

A. \(5x - 9y + 1 = 0\). B. \(9x - 5y - \frac{17}{3} = 0\). C. \(2x - y - \frac{4}{3} = 0\). D. \(2x - 3y = 0\).

## Đáp án đúng là A

### Phương pháp giải

Viết phương trình tiếp tuyến.

## Lời giải

\[ \text{Ta có } y'(1) = \frac{5}{9}, y(1) = \frac{2}{3}. \]

\[ \text{Do đó } y = \frac{5}{9}(x-1) + \frac{2}{3} = \frac{5}{9}x + \frac{1}{9} \Leftrightarrow 5x - 9y + 1 = 0. \]

A. \(5x - 9y + 1 = 0\)

B. \(9x - 5y - \frac{17}{3} = 0\)

C. \(2x - y - \frac{4}{3} = 0\)

D. \(2x - 3y = 0\). ## Đáp án đúng là A ### Phương pháp giải Viết phương trình tiếp tuyến. ## Lời giải \[ \text{Ta có } y'(1) = \frac{5}{9}, y(1) = \frac{2}{3}. \] \[ \text{Do đó } y = \frac{5}{9}(x-1) + \frac{2}{3} = \frac{5}{9}x + \frac{1}{9} \Leftrightarrow 5x - 9y + 1 = 0. \]

18

## Câu 20:

Bốn lực trên cùng một mặt phẳng tác dụng lên một chất điểm theo sơ đồ như sau:
![](images/0.jpg)

Độ lớn của các lực lần lượt là \(FN\), 10N, 50N, 40N. Góc tạo bởi lực có độ lớn \(FN\) và phương ngang có độ lớn bằng \(\theta\). Biết rằng chất điểm đang ở trạng thái cân bằng, tức là tổng các lực tác dụng lên nó bằng 0, khi đó giá trị của \(\frac{F}{\theta}\) (làm tròn đến hai chữ số thập phân) bằng

A. 0,32

B. 0,23

C. 0,45

D. 0,54 ## Đáp án đúng là A ### Phương pháp giải Sử dụng vectơ trong mặt phẳng. ### Lời giải Lắp hệ trục tọa độ \(Oxy\) với gốc tọa độ trùng với chất điểm như sau: ![](images/0.jpg) \[ \text{Xét lực } \vec{a} \left(|\vec{a}| = 40\right): \begin{cases} x_a = -40\cos60^\circ = -20 \\ y_a = 40\sin60^\circ = 20\sqrt{3} \end{cases} \Rightarrow \vec{a} \left(-20; 20\sqrt{3}\right). \] \[ \text{Xét lực } \vec{b} \left(|\vec{b}| = 10\right): \vec{b} (10; 0). \] \[ \text{Xét lực } \vec{c} \left(|\vec{c}| = 50\right): \vec{c} (0; -50). \] \[ \text{Vậy } \vec{F} + \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0} \Rightarrow \vec{F} = (10; 50; -20\sqrt{3}) \Rightarrow \begin{cases} F = 10\sqrt{38} - 20\sqrt{3} \\ \theta = \arctan\left(\frac{5 - 2\sqrt{3}}{3}\right) \end{cases} \Rightarrow \frac{F}{\theta} \approx 0,32. \]

19

## Câu 21:

Các giá trị thực của tham số \(m\) sao cho bất phương trình \((m-2)x^2 + 2mx - 1 < 0\) nghiệm đúng với mọi \(x\) là

A. \(-1 < m < 2\)

B. \(1 < m < 2\)

C. \(-2 < m < 1\)

D. \(-2 < m < 2\). ## Đáp án đúng là C ### Phương pháp giải Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai. Lời giải Yêu cầu đề bài tương đương với \[\begin{cases} \Delta' = m^2 + (m-2) < 0 \\ m-2 < 0 \end{cases} \Leftrightarrow -2 < m < 1.\]

20

Câu 22:

Trong mặt phẳng, cho 10 đường thẳng và 10 đường tròn phân biệt. Có tối đa bao nhiêu giao điểm có thể được tạo thành từ các đường thẳng và đường tròn nói trên?

A. 335

B. 333

C. 355

D. 353. Đáp án đúng là A Phương pháp giải Sử dụng bài toán đếm. Lời giải Cứ 2 đường thẳng phân biệt tạo thành 1 giao điểm, vậy có \(C_{10}^2 = 45\) giao điểm. Cứ 2 đường tròn phân biệt tạo thành 2 giao điểm, vậy có \(2C_{10}^2 = 90\) giao điểm. Cứ 1 đường thẳng và 1 đường tròn tạo thành 2 giao điểm, vậy có \(2.10.10 = 200\) giao điểm. Kết hợp lại, ta có tối đa \(200 + 45 + 90 = 335\) giao điểm

21

Câu 23:

Hệ số lớn nhất trong khai triển của nhị thức \((1+2x)^{15}\) bằng

A. 3003.2¹⁰

B. 3003.2⁵

C. 303.2⁵

D. 303.2¹⁰ Đáp án đúng là A Phương pháp giải Tính toán liên quan đến chính hợp, tổ hợp. Lời giải \[ \text{Ta có } (1+2x)^{15} = \sum_{k=0}^{15} C_{15}^k (2x)^k = \sum_{k=0}^{15} C_{15}^k \cdot 2^k \cdot x^k. \text{ Gọi } a_k = C_{15}^k \cdot 2^k \text{ là hệ số của } x^k. \] \[ \text{Ta có } a_k > a_{k+1} \Leftrightarrow C_{15}^k \cdot 2^k > C_{15}^{k+1} \cdot 2^{k+1} \Leftrightarrow k > \frac{29}{3}. \text{ Tức là } a_0 > a_{11} > \dots > a_{15}. \] \[ \text{Ta có } a_k < a_{k+1} \Leftrightarrow C_{15}^k \cdot 2^k < C_{15}^{k+1} \cdot 2^{k+1} \Leftarrow k < \frac{29}{3}. \text{ Tức là } a_0 < a_1 < \dots < a_{10}. \] Vậy max \(a_k = a_{10} = C_{15}^{10}.2^{10} = 3003.2^{10}\)

22

## Câu 24:

Một trụ điện cao thế cao 30m được dựng thẳng đứng trên một sườn núi 25° so với phương nằm ngang. Từ đỉnh trụ điện, người ta nối một sợi dây cáp xuống một điểm trên sườn núi, điểm này cách chân tháp 10m về hướng đỉnh núi. Coi sườn núi là bề mặt phẳng, chiều dài của sợi dây cáp đó theo đơn vị mét (làm tròn đến hàng đơn vị) là

Đáp án:

Đáp án đúng là "27"

Phương pháp giải

Giải tam giác.

Lời giải

![](images/0.jpg)

Ta có \(\overrightarrow{CAB} = 25^\circ \Rightarrow \overrightarrow{ACB} = 65^\circ = \overrightarrow{EDC}\).

Vậy \(EC = \sqrt{DE^2 + DC^2 - 2.DE.DC.\cos{EDC}} = \sqrt{30^2 + 10^2 - 2.30.10.\cos{65^\circ}} \approx 27,3(m)\).

A. \cos{EDC}} = \sqrt{30^2 + 10^2 - 2.30.10.\cos{65^\circ}} \approx 27,3(m)\)

23

## Câu 25:

Cho biểu thức \(P = \sqrt[4]{x^2\sqrt[3]{x}}(x > 0)\). Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề đúng là

A. \(P = x^{\frac{7}{12}}\)

B. \(P = x^{\frac{5}{12}}\)

C. \(P = x^{\frac{1}{6}}\)

D. \(P = x^{\frac{5}{6}}\). Phương pháp giải Sử dụng công thức lũy thừa. Lời giải \[P = \sqrt[4]{x^2 \sqrt[3]{x}} = \left( x^{\frac{2+1}{3}} \right)^{\frac{1}{4}} = x^{\left(\frac{2+1}{3}\right) \frac{1}{4}} = x^{\frac{7}{12}}.\]

24

Câu 26:

Tập xác định của hàm số \(y = \frac{\log_4 (27 - 3x^2) \cdot \log_3 |x - 4|}{\sqrt{x - 1}}\) là

A. \((-3;3)\)

B. \((1;3)\)

C. \((4;+\infty)\)

D. \((1;4]\). Đáp án đúng là B Phương pháp giải Tìm tập xác định của hàm số. Lời giải \[ \text{Ta có: } \begin{cases} 27 - 3x^2 > 0 \\ x - 1 > 0 \iff 1 < x < 3 \\ x - 4 \neq 0 \end{cases} \]

25

Câu 27:

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{2025^{n+1} + 3.2024^n}{45^{2n} - 2026.2024^{n+1}} \text{ bằng} \]

Đáp án:

Đáp án đúng là "2025"

Phương pháp giải

Tính giới hạn của dãy số.

Lời giải

\[
\lim \frac{2025^{n+1} + 3.2024^n}{45^{2n} - 2026.2024^{n+1}} = \lim \frac{2025 + 3. \left(\frac{2024}{2025}\right)^n}{1 - 2026.2024. \left(\frac{2024}{2025}\right)^n} = 2025.
\]

26

Câu 28:

Giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 4}{x + 2} & \text{khi } x \neq -2 \\ m & \text{khi } x = -2 \end{cases}\) liên tục tại điểm \(x = -2\) là

A. \(m = -4\)

B. \(m = 2\)

C. \(m = 4\)

D. \(m = 0\). Đáp án đúng là A Phương pháp giải Sử dụng tính liên tục của hàm số. Lời giải Hàm số liên tục tại \(x = -2\) khi và chỉ khi \(\lim_{x \to -2} \left(\frac{x^2 - 4}{x + 2}\right) = \lim_{x \to -2} (m) = m \Leftrightarrow m = -4\)

27

Câu 29:

Cho hàm số \(f(x)\), đồ thị của hàm số \(y = f'(x)\) là đường cong trong hình sau:

![](images/0.jpg)

Giá trị lớn nhất của hàm số \(g(x) = f(2x) - 4x\) trên đoạn \(\left[-\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right]\) bằng

A. \(f\left(-\frac{1}{2}\right) + 1\). B. \(f(3) - 12\). C. \(f(-1) + 2\). D. \(f\left(\frac{3}{2}\right) - 3\).

## Đáp án đúng là C

### Phương pháp giải

Khảo sát hàm số hợp.

### Lời giải

\[ \text{Ta có } g'(x) = 2f'(2x) - 4 = 0 \Leftrightarrow f'(2x) = 2 \Leftrightarrow 2x = a \in (2; 3) \Leftrightarrow x = b \in \left(1; \frac{3}{2}\right). \]

Lập bảng biến thiên như sau:

![](images/0.jpg)

\[ \text{Ta có } g\left(-\frac{1}{2}\right) = f(-1) + 2, g\left(\frac{3}{2}\right) = f(3) - 12. \]

Ta thấy \(f'(x) = x^3 - x^2 - 2x\), và

\[ \begin{aligned} f(3) - f(-1) &= \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} f'(x) dx = \frac{8}{3} < 2 + 12 \Rightarrow f(3) - 12 < f(-1) + 2 \\ \Rightarrow g(b) < g\left(\frac{3}{2}\right) < g\left(-\frac{1}{2}\right). \end{aligned} \]

\[ \text{Vậy } \max_{\left[\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right]} g(x) = g\left(-\frac{1}{2}\right) = f(-1) + 2. \]

A. \(f\left(-\frac{1}{2}\right) + 1\)

B. \(f(3) - 12\)

C. \(f(-1) + 2\)

D. \(f\left(\frac{3}{2}\right) - 3\). ## Đáp án đúng là C ### Phương pháp giải Khảo sát hàm số hợp. ### Lời giải \[ \text{Ta có } g'(x) = 2f'(2x) - 4 = 0 \Leftrightarrow f'(2x) = 2 \Leftrightarrow 2x = a \in (2; 3) \Leftrightarrow x = b \in \left(1; \frac{3}{2}\right). \] Lập bảng biến thiên như sau: ![](images/0.jpg) \[ \text{Ta có } g\left(-\frac{1}{2}\right) = f(-1) + 2, g\left(\frac{3}{2}\right) = f(3) - 12. \] Ta thấy \(f'(x) = x^3 - x^2 - 2x\), và \[ \begin{aligned} f(3) - f(-1) &= \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} f'(x) dx = \frac{8}{3} < 2 + 12 \Rightarrow f(3) - 12 < f(-1) + 2 \\ \Rightarrow g(b) < g\left(\frac{3}{2}\right) < g\left(-\frac{1}{2}\right). \end{aligned} \] \[ \text{Vậy } \max_{\left[\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right]} g(x) = g\left(-\frac{1}{2}\right) = f(-1) + 2. \]

28

### Câu 30:

Một chiếc đồng hồ cát được thiết kế bằng cách quay phần hình phẳng bị giới hạn bởi đường lemniscate có phương trình \(x^4 - x^2 + y^2 = 0\) quanh trục hoành (xem hình minh họa).

![](images/0.jpg)

Thể tích của chiếc đồng hồ cát là

A. \(\frac{2\pi}{15}\)

B. \(\frac{4\pi}{3}\)

C. \(\frac{4\pi}{15}\)

D. \(\frac{2\pi}{5}\). Đáp án đúng là C Phương pháp giải Sử dụng tích phân tính thể tích khối tròn xoay. Lời giải Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường lemniscate với trục hoành \(y=0\), ta có: \[x^4 - x^2 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\] Ta có \(V = \pi \int_{-1}^{1} (y^2) dx = \pi \int_{-1}^{1} (-x^4 + x^2) dx = \frac{4\pi}{15}\)

29

Câu 31:

Cho hình lăng trụ tam giác \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh bằng \(a\), tam giác \(AB'C'\) cân tại \(A\), mặt phẳng \((AB'C')\) vuông góc với mặt phẳng \((A'B'C')\) và \(AA' = a\sqrt{3}\). Thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) là

A. \(\frac{3a^3\sqrt{3}}{8}\)

B. A'B'C'\) là A. \(\frac{3a^3\sqrt{3}}{8}\). B. \(\frac{a^3\sqrt{3}}{8}\). C. \(\frac{3a^3\sqrt{3}}{4}\)

C. \(\frac{a^3\sqrt{3}}{4}\). Đáp án đúng là A Phương pháp giải Tính thể tích khối lăng trụ. Lời giải ![](images/0.jpg) Tam giác \(A'B'C'\) đều cạnh bằng \(a\), nên diện tích bằng \(\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\). Lấy \(H\) là trung điểm của \(B'C'\), ta thấy: \(AH \perp (A'B'C') \Rightarrow AH \perp A'H\). \[ \Rightarrow AH = \sqrt{AA'^2 - HA^2} = \frac{3a}{2} \Rightarrow V = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{3a}{2} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{8}. \]

30

## Câu 32:

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(SA \perp (ABCD)\), \(ABCD\) là hình thoi cạnh \(a, AC = a, SA = \frac{a}{2}\). Gọi \(H\) là hình chiếu của \(S\) trên cạnh \(CD\). Số đo của góc nhị diện \([S, CD, A]\) bằng

A. 30°

B. 45°

C. 60°

D. 90° ## Đáp án đúng là A ### Phương pháp giải Xác định góc nhị diện ### Lời giải ![](images/1.jpg) Vì \(SA \perp (ABCD)\) nên \(SA \perp CD\). Mà \(SH \perp CD\) nên \(CD \perp (SHA)\). Do đó, \(CD \perp AH\) và góc \(\overline{SAH}\) là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện \([S, CD, A]\). Xét tam giác \(ACD\) đều cạnh \(a\) có \(AH = \frac{a\sqrt{3}}{2}\). Tam giác \(SAH\) vuông có \(SA = \frac{a}{2}\) Suy ra \(\overline{SAH} = 30^\circ\). Vậy số đo của góc nhị diện \([S, CD, A]\) bằng \(30^\circ\)

31

## Câu 33:

Cho hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) có cạnh đáy bằng \(a\), gọi \(O\) là tâm đáy và \(SO = \frac{a\sqrt{3}}{3}\). Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\). Tính khoảng cách từ \(O\) đến \(SA\).

A. \(\frac{a\sqrt{5}}{5}\)

B. \(\frac{a\sqrt{3}}{3}\)

C. \(\frac{a\sqrt{2}}{3}\)

D. \(\frac{a\sqrt{6}}{6}\). ## Đáp án đúng là D ### Phương pháp giải Dựng \(OH \perp SA(H \in SA) \Rightarrow d(O, SA) = OH\). ### Lời giải Dựng \(OH \perp SA(H \in SA) \Rightarrow d( O, SA) = OH\). Ta có: \(OA = \frac{2}{3} AI = \frac{2}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{3} = SO \Rightarrow \Delta SOA\) vuông cân tại \(O\) \[ \Rightarrow OH = \frac{1}{2} SA = \frac{1}{2} SO \cdot \sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{3} \cdot \sqrt{2} = \frac{a\sqrt{6}}{6}. \] \[ Vậy \, d(O, SA) = \frac{a\sqrt{6}}{6}. \]

32

## Câu 34:

Tọa độ trực tâm của tam giác \(ABC\), với \(A(-3;0;0)\), \(B(0;4;0)\), \(C(0;0;1)\) là

A. \(\left(-\frac{48}{169}; -\frac{36}{169}; \frac{144}{169}\right)\)

B. \(\left(-\frac{48}{169}; \frac{36}{169}; \frac{144}{169}\right)\)

C. \(\left(\frac{48}{169}; -\frac{36}{169}; -\frac{144}{169}\right)\)

D. \((3;4;1)\). ## Đáp án đúng là B ### Phương pháp giải Sử dụng công thức tính khoảng cách ### Lời giải \[ (ABC): \frac{x}{-3} + \frac{y}{4} + \frac{z}{1} = 1 \Leftrightarrow 4x - 3y - 12z + 12 = 0. \] Mà \(OH \perp (ABC) \Rightarrow \overline{OH} = k(4; -3; -12) = (4k; -3k; -12k)\). \[ Lại có OH = d(O, (ABC)) = \frac{12}{\sqrt{4^2 + (-3)^2 + (-12)^2}} = \frac{12}{13}. \] \[ \text{Suy ra } OH = 13|k| = \frac{12}{13} \Rightarrow \begin{cases} k = \frac{12}{169} \\ k = \frac{-12}{169} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} H\left(\frac{48}{169}; -\frac{36}{169}; -\frac{144}{16}\right) \notin (P) \\ H\left(\frac{-48}{169}; \frac{36}{169}; \frac{144}{169}\right) \in (P) \end{cases}. \]

33

## Câu 35:

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \((P): x + y - 2z - 1 = 0\) và điểm \(A(4;1;2)\). Gọi \(d\) là đường thẳng đi qua \(A\) cắt mặt phẳng \((P)\) tại \(B\), cắt trục \(Oy\) tại \(C\) sao cho \(B\) là trung điểm của \(AC\). Một điểm thuộc đường thẳng \(d\) có hoành độ bằng -4 thì cao độ điểm đó là

Đáp án: ______

Đáp án đúng là "-2"

Phương pháp giải

Viết phương trình đường thẳng.

Lời giải

Đặt tọa độ điểm \(C(0, c, 0)\) khi đó tọa độ \(B\left(2; \frac{1+c}{2}; 1\right) \Rightarrow 2 + \frac{1+c}{2} - 2 - 1 = 0 \Leftrightarrow c = 1\).

Suy ra \(\overrightarrow{AC} = (-4; 0; -2)\). Vậy phương trình của \(d\) có dạng
\[\begin{cases}
x = 2t \\
y = 1 \quad (t \in \mathbb{R}) \\
z = t
\end{cases}\]

Với \(x = -4 \Rightarrow t = -2 \Rightarrow z = -2\).

34

Câu 36:

Trong không gian \(Oxyz\) phương trình nào sau đây không phải là phương trình của một mặt cầu?

A. \(x^2 + y^2 + z^2 + x - 2y + 4z - 3 = 0\)

B. \(2x^2 + 2y^2 + 2z^2 - x - y - z = 0\)

C. \(2x^2 + 2y^2 + 2z^2 + 4x + 8y + 6z + 3 = 0\)

D. \(x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y - 4z + 10 = 0\). Đáp án đúng là D Phương pháp giải Tìm điều kiện tồn tại của phương trình mặt cầu. Lời giải Ta thấy \(x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4 y - 4z + 10 = 0\) không phải là phương trình mặt cầu do \[a^2 + b^2 + c^2 - d = \left(\frac{-2}{-2}\right)^2 + \left(\frac{4}{-2}\right)^2 + \left(\frac{-4}{-2}\right)^2 - 10 < 0.\]

35

Câu 37:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(\log_2^2(2x) - 2\log_2(x^2) - m - 1 = 0\) có nghiệm, trong đó có đúng một nghiệm thuộc đoạn \(\left[\frac{1}{2}; 16\right]?\)

Đáp án:

Đáp án đúng là "6"

Phương pháp giải

Giải phương trình logarit.

Lời giải

Điều kiện: \(x > 0\).

\[ \text{Ta có } \log_2^2(2x) - 2\log_2(x^2) - m - 1 = 0 \Leftrightarrow \log_2^2x - 2\log_2x - m = 0 \]

Đặt \(t = \log_2 x \in [-1; 4]\), phương trình trở thành \(-t^2 + 2t = m\) (*)

Khảo sát hàm số \(f(t) = -t^2 + 2t\), ta có bảng biến thiên như sau:

![](images/0.jpg)

Vậy \(m \in \{-1\} \cup (3; 8]\). Như vậy có 6 giá trị nguyên thỏa mãn.

36

Câu 38:

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a\), tam giác \(SBA\) vuông tại \(B\), tam giác \(SAC\) vuông tại \(C\). Biết góc giữa hai mặt phẳng \((SAB)\) và \((ABC)\) bằng \(60^\circ\). Tính thể tích khối chóp \(S.ABC\) theo \(a\).

A. \(\frac{\sqrt{3}a^3}{8}\)

B. \(\frac{\sqrt{3}a^3}{12}\)

C. \(\frac{\sqrt{3}a^3}{6}\)

D. \(\frac{\sqrt{3}a^3}{4}\) Đáp án đúng là B Phương pháp giải Gọi \(D\) là hình chiếu của \(S\) lên mặt phẳng \((ABC)\), suy ra \(SD \perp (ABC)\). Lời giải ![](images/0.jpg) Gọi \(D\) là hình chiếu của \(S\) lên mặt phẳng \((ABC)\), suy ra \(SD \perp (ABC)\). Ta có \(SD \perp AB\) và \(SB \perp AB\) (gt) suy ra \(AB \perp (SBD) \Rightarrow BA \perp BD\). Tương tự có \(AC \perp DC\) hay tam giác \(ACD\) vuông ở \(C\). Dễ thấy \(\Delta SBA = \Delta SCA\) (cạnh huyền và cạnh góc vuông), suy ra \(SB = SC\). Từ đó ta chứng minh được \(\Delta SBD = \Delta SCD\) nên cũng có \(DB = DC\). Vậy \(DA\) là đường trung trực của \(BC\) nên cũng là đường phân giác của góc \(\widehat{BAC}\). Ta có \(\widehat{DAC} = 30^\circ\), suy ra \(DC = \frac{a}{\sqrt{3}}\). Ngoài ra góc giữa hai mặt phẳng \((SAB)\) và \((ABC)\) là \(\widehat{SBD} = 60^\circ\), suy ra \(\tan \widehat{SBD} = \frac{SD}{BD} \Rightarrow SD = BD \cdot \tan \widehat{SBD} = \frac{a}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{3} = a\). Vậy \(V_{S.ABC} = \frac{1}{3} \cdot S_{\Delta ABC} \cdot SD = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \cdot a = \frac{a^3 \sqrt{3}}{12}\)

37

## Câu 39:

Điều tra số giờ trực hằng tuần của các bác sĩ ở một khoa A trong bệnh viện, người ta thu được số liệu sau:

5	6	7	8	8	9	9	9
9	9	10	10	10	11	11	11
12	12	12	13	13	14	14

Chuyển mẫu số liệu đã cho về mẫu số liệu ghép nhóm với độ dài các nhóm ghép bằng 2 và nhóm

đầu tiên là [5; 7). Số giờ trực trung vị gần nhất với kết quả nào dưới đây?

A. 10

B. 11

C. 12

D. 13. Đáp án đúng là A Phương pháp giải Tính số trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm. Lời giải Ta lập được bảng sau: <table><tr><td>Số giờ trực (giờ)</td><td>[5;7)</td><td>[7;9)</td><td>[9;11)</td><td>[11;13)</td><td>[13;15)</td></tr><tr><td>Tần số</td><td>2</td><td>4</td><td>9</td><td>6</td><td>4</td></tr></table> \[Số trung vị: M_e = 9 + \frac{12,5 - (2 + 4)}{9}. 2 \approx 10,4.\]

38

Câu 40:

Trong thí nghiệm đo hiệu điện thế của cùng một dòng điện, hai bạn Ánh và Bảo đã dùng hai vôn kế khác nhau để đo, mỗi bạn tiến hành đo 10 lần cho kết quả như sau:

Hiệu điện thế (Vôn)	[3,85;3,90)	[3,90;3,95)	[3,95;4,00)	[4,00;4,05)
Số lần Ánh đo	1	6	2	1
Số lần Bảo đo	1	3	4	2

Cho các mệnh đề sau:

(I). Xét theo số trung bình, kết quả đo của hai bạn chênh lệch nhau dưới 0,01 (Vôn).

(II). Xét theo khoảng tứ phân vị, vôn kế của bạn Ánh cho kết quả ổn định hơn của bạn Bảo.

(III). Xét theo phương sai, vôn kế của bạn Ánh cho kết quả ổn định hơn của bạn Bảo.

Số mệnh đề đúng là

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3. Đáp án đúng là C Phương pháp giải Tính các số đặc trưng của mẫu số liệu ghép nhóm. Lời giải Xét mẫu số liệu ghép nhóm của hai bạn: <table><tr><td>Ánh</td><td>Bảo</td><td>So sánh</td></tr><tr><td>Số trung bình: \(\overline{x} = 3,94\).</td><td>Số trung bình: \(\overline{x} = 3,96\).</td><td>\(\left|\overline{x}_A - \overline{x}_B\right| \approx 0,02\).</td></tr><tr><td>Khoảng tứ phân vị: \(\Delta Q = 0,05\).</td><td>Khoảng tứ phân vị: \(\Delta Q \approx 0,07\).</td><td>\(\Delta Q_A < \Delta Q_B\).</td></tr><tr><td>Phương sai: \(s_{x_A}^2 = 0,001525\).</td><td>Phương sai: \(s_{x_B}^2 = 0,045\).</td><td>\(s_{x_A}^2 < s_{x_B}^2\).</td></tr></table> Vậy (I) sai, (II) đúng, (III) đúng

39

## Câu 41:

Thời gian hoàn thành đường chạy 50 m của một số học sinh được cho trong bảng sau:

Số giây	8,3	8,4	8,5	8,6	8,7	8,8
Số học sinh	2	3	5	9	5	1

Phương sai của mẫu số liệu gần nhất với kết quả nào dưới đây?

A. 0,016

B. 0,126

C. 0,017

D. 0,129. ## Đáp án đúng là A ### Phương pháp giải Tính phương sai của mẫu số liệu không ghép nhóm. ### Lời giải \[s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{6} (x_i - \overline{x})^2 \cdot f_i}{\sum_{i=1}^{6} f_i} = 0,016\]

40

## Câu 42:

Một nhà vườn cân lần lượt 50 quả vải được lựa chọn ngẫu nhiên từ vườn và được kết quả như sau:

Cân nặng (đơn vị gam)	Số quả
8	1

19	10
20	19
21	17
22	3

Giá trị ngoại lệ của mẫu số liệu trên là

Đáp án:

Đáp án đúng là "8"

Phương pháp giải

Tìm các giá trị bất thường của mẫu số liệu không ghép nhóm.

Lời giải

\[ \text{Ta có } Q_1 - 1,5\Delta Q = 22,5, Q_3 + 1,5\Delta Q = 18,5, \text{ do đó giá trị ngoại lệ của mẫu số liệu đã cho là } 8. \]

41

Câu 43:

Để khảo sát kết quả kiểm tra cuối học kì I môn Toán của trường A, người điều tra chọn một mẫu gồm 100 học sinh tham gia kì kiểm tra đó. Điểm môn Toán (thang điểm 10) của các học sinh này được cho ở bảng phân bố tần số sau đây:

Điểm	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Tần số	1	1	3	5	8	13	19	24	14	10	2

Điểm thi trung vị bằng

A. 6,5

B. 5,5

C. 6,25

D. 7,5. Đáp án đúng là A Phương pháp giải Tính số trung vị của mẫu số liệu không ghép nhóm. Lời giải Do kích thước mẫu là một số chẵn nên số trung vị là trung bình cộng của 2 giá trị đứng thứ \(\frac{N}{2} = 50\) và \(\frac{N}{2} + 1 = 51\), do đó \(M_e = \frac{6 + 7}{2} = 6,5\)

42

Câu 44:

Xác suất để một học sinh thắng một ván cờ vua là 40%. Học sinh đó cần đấu ít nhất bao nhiêu ván cờ vua để xác suất thắng ít nhất một ván lớn hơn 95%?

A. 6

B. 5

C. 7

D. 4 Đáp án đúng là A Phương pháp giải Sử dụng công thức nhân xác suất cho biến cố độc lập. Lời giải Gọi biến cố thắng một ván cờ vua là \(X\). Vậy \(\mathbb{P}(X) = 40\%\), \(\mathbb{P}(\overline{X}) = 60\%\). Giả sử số ván cờ vua là \(n \Rightarrow 1 - \left[\mathbb{P}(\overline{X})\right]^n = 1 - 0,6^n > 0,95 \Leftrightarrow n > \log_{0,6} 0,05\). Vậy \(n = 6\)

43

Câu 45:

Một lớp học có 30 học sinh, trong đó có 18 học sinh giỏi Toán và 12 học sinh giỏi Văn. Biết rằng xác suất để học sinh đó giỏi Văn, biết rằng học sinh đó đã giỏi Toán, là \(\frac{4}{9}\). Chọn ngẫu nhiên một học sinh từ lớp. Xác suất để học sinh đó giỏi Toán, biết rằng học sinh đó đã giỏi Văn, là bao nhiêu?

A. \(\frac{2}{3}\)

B. \(\frac{3}{5}\)

C. \(\frac{2}{5}\)

D. \(\frac{4}{5}\). Đáp án đúng là A Tài liệu OnThi.org Phương pháp giải Tính xác suất có điều kiện. Lời giải Gọi \(A\) và \(B\) lần lượt là biến cố "học sinh giỏi Toán" và biến cố "học sinh giỏi Văn". \[ \text{Ta có } \mathbb{P}(A) = \frac{3}{5}, \mathbb{P}(B) = \frac{2}{5}, \mathbb{P}(B|A) = \frac{4}{9} \Rightarrow \mathbb{P}(A|B) = \frac{\mathbb{P}(B|A)\cdot\mathbb{P}(A)}{\mathbb{P}(B)} = \frac{\frac{4}{9}\cdot\frac{3}{5}}{\frac{2}{5}} = \frac{2}{3}. \]

44

Câu 46:

Cho \(n = 20^{25}\). Có bao nhiêu ước số của \(n^2\) nhỏ hơn \(n\) nhưng không là ước số của \(n\)?

Đáp án:

![](images/0.jpg)

Đáp án đúng là "1250"

Phương pháp giải

Tư duy logic.

Lời giải

Ta xét trường hợp tổng quát: \(n = a^r b^s\), với \(a, b\) là các số nguyên tố.

Số ước của \(n^2 = a^{2r} b^{2s} : (2r+1). (2s+1)\).

Với mỗi ước của \(n^2\) nhỏ hơn \(n\), ta thấy tồn tại một ước của \(n^2\) lớn hơn \(n\).

Như vậy, số ước của \(n^2\) nhỏ hơn \(n\) là \(\frac{(2r+1).(2s+1)-1}{2} = 2r.s + r + s\).

Số ước của \(n = a^r b^s : (r+1). (s+1)\).

Như vậy, số ước của \(n\) nhỏ hơn \(n\) là \((r+1). (s+1)-1 = r.s + r + s\).

Vì mỗi ước của \(n\) cũng là ước của \(n^2\) nên số ước của \(n^2\) nhỏ hơn \(n\) nhưng không là ước của \(n\) là

\[ (2r.s + r + s) - (r.s + r + s) = r.s \]

Áp dụng vào trường hợp này: \(n = 20^{25} = 2^{50}.5^{25} \Rightarrow r.s = 1250\).

45

Câu 47:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(y = |3x^4 - 4x^3 - 12x^2 + m|\) có 7 điểm cực trị?

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5. Đáp án đúng là C Phương pháp giải Sử dụng phương pháp tìm cực trị của hàm số có chứa giá trị tuyệt đối. Lời giải \[ \text{Đặt } f(x) = 3x^4 - 4x^3 - 12x^2 + m. \] \[ \text{Ta có: } f'(x) = 12x^3 - 12x^2 - 24x = 0 \Leftrightarrow \begin{cases} x = -1 \\ x = 0 \\ x = 2 \end{cases} \text{. Lập bảng biến thiên cho } f(x) \text{ như sau:} \] ![](images/0.jpg) Do hàm số \(f(x)\) có ba điểm cực trị nên hàm số \(y = |f(x)|\) có 7 điểm cực trị khi phương trình \[ f(x) = 0 \text{ có } 4 \text{ nghiệm } \Leftrightarrow \begin{cases} m > 0 \\ m - 5 < 0 \end{cases} \Leftrightarrow 0 < m < 5. \] Vậy có 4 giá trị nguyên thỏa mãn đề bài

46

## Câu 48:

Đường tròn phương trình \(x^2 + y^2 + px + 2y + q = 0\) có tiếp tuyến tại điểm \(A(4;3)\) là đường thẳng có phương trình \(x + 2y = 10\). Giá trị của \(q\) là

Đáp án:

![](images/1.jpg)

## Đáp án đúng là "-15"

### Phương pháp giải

Giải hệ phương trình

### Lời giải

Tâm đường tròn là \(I\left(-\frac{p}{2}; -1\right)\).

Vì đường thẳng \(x + 2y = 10\) là tiếp tuyến của đường tròn nên hệ phương trình

\[\begin{cases} x^2 + y^2 + px + 2y + q = 0 \\ x + 2y = 10 \end{cases}\] có nghiệm duy nhất, mà \(A(4;3)\) là tiếp điểm nên \((4;3)\) là nghiệm duy nhất của hệ.

Suy ra \(25 + 4p + 6 + q = 0 \Leftrightarrow 4p + q = -31\).

Lại có \(IA = d(I, (d))\)

\[ \Rightarrow \sqrt{\left(-\frac{p}{2} - 4\right)^2 + (-1 - 3)^2} = \frac{\left|-\frac{p}{2} - 2 - 10\right|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} \]

\[ \Leftrightarrow \left(\frac{p}{2} + 4\right)^2 + 16 = \frac{\left(\frac{p}{2} + 12\right)^2}{5} \]

\[ \Leftrightarrow p = -4 \]

\[ \Rightarrow q = -15. \]

47

## Câu 49:

Một doanh nghiệp sản xuất một loại sản phẩm và khi bán hết \(x\) (\(0 < x < 2025\)) sản phẩm thì tổng số tiền doanh nghiệp thu được là \(2000x - x^2\) (nghìn đồng) và tổng chi phí doanh nghiệp bỏ ra là \(x^2 + 1440x + 50\) (nghìn đồng). Doanh nghiệp này phải chịu thêm mức thuế phụ thu cho mỗi đơn vị sản phẩm bán ra là \(t\) (\(0 < t < 300\)) (nghìn đồng). Mức thuế phụ thu cho mỗi đơn vị sản phẩm là bao nhiêu nghìn đồng thì doanh nghiệp thu được lợi nhuận lớn nhất, đồng thời nhà nước cũng thu được số tiền thuế phụ thu lớn nhất?

Đáp án:

Đáp án đúng là "280"

Phương pháp giải

Lời giải

Ta có lợi nhuận

\[ L(x) = (2000x - x^2) - (x^2 + 1440x + 50) - tx = -2x^2 + (560 - t)x - 50 \text{ (nghìn đồng).} \]

\[ L'(x) = -4x + (560 - t) = 0 \Leftrightarrow x = 140 - \frac{t}{4}. \text{ Mà } 0 < t < 300 \text{ nên } x = 140 - \frac{t}{4} \in (65; 140). \]

Lập bảng biến thiên:
![](images/0.jpg)

\[Vậy \max_{(0;2025)} L(x) = L\left(140 - \frac{t}{4}\right).\]

\[Xét tổng tiền thuế T = t x = t\left(140 - \frac{t}{4}\right) = -\frac{t^2}{4} + 140t.\]

\[Dễ thấy \max T = T\left(-\frac{140}{2 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right)}\right) = T(280).\]

Vậy \(t = 280\).

48

## Câu 50:

Đạo hàm của hàm số \(y = \sin(2x+1) - \cos(1-x)\) là:

A. \(y' = 2\cos(2x+1) - \sin(1-x)\)

B. \(y' = \cos(2x+1) + \sin(1-x)\)

C. \(y' = 2\cos(2x+1) + \sin(1-x)\)

D. \(y' = \cos(2x+1) - \sin(1-x)\) ## Đáp án đúng là A ### Phương pháp giải Sử dụng các công thức đạo hàm của hàm hợp và hàm số lượng giác. ### Lời giải \[Ta có: y = \sin(2x+1) - \cos(1-x)\] \[\Rightarrow y' = \left[\sin(2x+1) - \cos(1-x)\right]'\] \[= (2x+1)' \cos(2x+1) + (1-x)' \sin(1-x)\] \[= 2\cos(2x+1) - \sin(1-x).\] ---