Câu 1. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên bé hơn 60?


A) 30.


B) 17.


C) 25.


D) 42.


## ◀▶ LỜI GIẢI


Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Câu 2. Hàm số \(f(x) = x^4(x-1)^2\) có bao nhiêu điểm cực trị?


A) 3.


B) 0.


C) 5.


D) 2.


## ◀▶ LỜI GIẢI


Giải \(f'(x) = 0 \Leftrightarrow 2x^3(x-1)(3x-2) = 0 \Leftrightarrow
\begin{cases}
x = 0 \\
x = 1 \\
x = \frac{2}{3}
\end{cases}
\)


Nhận thấy \(f'(x)\) có ba nghiệm đơn nên hàm số đã cho có 3 điểm cực trị.


Chọn đáp án A . . . . . . . . . .

Câu 3. Trong không gian \(Oxyz\), tìm tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình


\[x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 2y - 4z + m = 0\]


là phương trình của một mặt cầu.


A) \(m > 6\).


B) \(m \ge 6\).


C) \(m \le 6\).


D) \(m < 6\).


## ◀▶ LỜI GIẢI


Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Câu 4. Từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau, trong đó phải có mặt chữ số 2?


A) 98.


B) 80.


C) 90.


D) 120.


## ◀▶ LỜI GIẢI


Nhận xét: Số cách lập số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau, trong đó phần có mặt chữ số 2 là số cách xếp các chữ số 1; 2; 3; 4; 5;6; 7 vào 3 vị trí sao cho luôn có chữ số 2. Vậy có \(3 \cdot A_6^2 = 90\) số.


Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Câu 5.


Có 4 đường thẳng song song cắt 5 đường thẳng song song khác tạo thành nhưng hình bình hành). Có bao nhiêu hình bình hành được tạo thành?





A 20.





B 9.





C 240.





D 60.


<1> LỜI GIẢI


Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Câu 6.


Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy (tham khảo hình vẽ bên). Khi đó số đo góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) là





A 60°.





B 45°.





C 90°.





D 30°.





<1> LỜI GIẢI


Ta có (SAB) ∩ (SAC) = SA.


Trong mặt phẳng (SAB) có AB ⊥ SA, trong mặt phẳng (SAC) có AC ⊥ SA.


Khi đó góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) là BAC.


Do tam giác ABC đều nên BAC = 60°.


Vậy số đo góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) lần lượt là 60°.


Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V

Câu 7. Kí hiệu \(\mathcal{K}\) là một khoảng hoặc một nửa khoảng hoặc một đoạn của \(\mathbb{R}\). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau.

Mệnh đề	Dúng	Sai
a) Nếu \(f(x)\) và \(g(x)\) bằng nhau trên \(\mathcal{K}\) thì nguyên hàm của \(f(x)\) bằng nguyên hàm của \(g(x)\) trên \(\mathcal{K}\).		F
b) Mọi hàm số \(f(x)\) liên tục trên \(\mathcal{K}\) đều có nguyên hàm trên \(\mathcal{K}\).	T
c) Nếu \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\) trên \(\mathcal{K}\) thì \(F(x) + C\) (C là hằng số) cũng là một nguyên hàm của \(f(x)\) trên \(\mathcal{K}\).	T
d) Nếu nguyên hàm của \(f(x)\) bằng nguyên hàm của \(g(x)\) trên \(\mathcal{K}\) thì hai hàm số \(f(x)\) và \(g(x)\) bằng nhau trên \(\mathcal{K}\).	T

<1> LỜI GIẢI


Các nguyên hàm của cùng một hàm số khác nhau ở hằng số C nên mệnh đề “Nếu \(f(x)\) và \(g(x)\) bằng nhau trên \(\mathcal{K}\) thì nguyên hảm của \(f(x)\) bằng nguyên hàm của \(g(x)\) trên \(\mathcal{K}\)” sai.


Chọn đáp án a sai b đúng c đúng d đúng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v

Câu 8. Trong không gian Oxyz cho điểm A(4; -3; 7) và B(2; 1; 3). Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB là


A \(x + 2y + 2z - 15 = 0\).


B \(x - 2y + 2z + 15 = 0\).


C \(x + 2y + 2z + 15 = 0\).


D \(x - 2y + 2z - 15 = 0\).

## 1/2 LỜI GIẢI


Ta có \(\overrightarrow{AB}(-2; 4; -4)\) trung điểm \(AB\) là \(M(3; -1; 5)\). Phương trình mặt phẳng cần tìm là


\[-2(x - 3) + 4(y + 1) - 4(z - 5) = 0 \Leftrightarrow x - 2y + 2z - 15 = 0.\]


Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Câu 9 (Xét tính đúng/sai của các mệnh đề).


Cho hình hộp \(ABCD.EFGH\).

Mệnh đề	Dúng	Sai
a) Ba véctơ \(\overrightarrow{EH}, \overrightarrow{EF}, \overrightarrow{AC}\) đồng phẳng.	T
b) Ba véctơ \(\overrightarrow{EH}, \overrightarrow{EA}, \overrightarrow{EF}\) đồng phẳng.	F
c) Ba véctơ \(\overrightarrow{GH}, \overrightarrow{GF}, \overrightarrow{BG}\) đồng phẳng.	F
d) Ba véctơ \(\overrightarrow{EH}, \overrightarrow{EF}, \overrightarrow{AG}\) đồng phẳng.	F





## 1/2 LỜI GIẢI

Câu 10. Gieo ngẫu nhiên 2 con xúc sắc cân đối đồng chất. Tìm xác suất của biến cố “hiệu số chấm xuất hiện trên 2 con xúc sắc bằng 1”.


A \(\frac{2}{9}\). B \(\frac{1}{9}\). C \(\frac{5}{18}\). D \(\frac{5}{6}\).


## 1/2 LỜI GIẢI


Số phần tự của không gian mẫu \(n(\Omega) = 6 \cdot 6 = 36\).


Gọi \(A\) là biến cố thỏa mãn yêu cầu bài toán.


\[A = \{(1; 2), (2; 1), (3; 2), (2; 3), (3; 4), (4; 3), (4; 5), (5; 4), (5; 6), (6; 5)\}\]


nên \(n(A) = 10\). Vậy \(P(A) = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}\).


Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Câu 11. Vị trí các điểm \(B, C, D\) trên cánh quạt động cơ máy bay trong hình dưới đây có thể biểu diễn cho góc lượng giác nào sau đây?



\[ \text{A} \frac{\pi}{4} + k\pi (k \in \mathbb{Z}). \quad \text{B} -\frac{\pi}{6} + \frac{k2\pi}{3} (k \in \mathbb{Z}). \quad \text{C} -\frac{\pi}{2} + \frac{k2\pi}{3} (k \in \mathbb{Z}). \text{D} \frac{\pi}{4} + \frac{k2\pi}{3} (k \in \mathbb{Z}). \]


## 4> LỜI GIẢI


Nhận thấy các điểm \(B, C, D\) cách nhau một góc \(\frac{2\pi}{3}\).


Mặt khác \(C\) biểu diễn góc \(-\frac{\pi}{6}\).


Vậy vị trí các điểm \(B, C, D\) trên cánh quạt động có máy bay trong hình có thể biểu diễn cho góc lượng giác \(-\frac{\pi}{6} + \frac{k2\pi}{3} (k \in\mathbb{Z})\).


Chọn đáp án B \(\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\) \(\nabla\)

Câu 12. Một chất điểm có phương trình chuyển động là \(s(t) = \sin \frac{\pi}{3t+1} + 2t^2\) (m). Vận tốc chuyển động của chất điểm tại thời điểm \(t = 1\) (s) gần bằng


A) 3, 48 (m/s). B) 3, 58 (m/s). C) 4, 36 (m/s). D) 4, 28 (m/s).


## 4> LỜI GIẢI


Vận tốc của chất điểm là


\[ v(t) = s'(t) = \left( \frac{\pi}{3t+1} \right)' \cos \frac{\pi}{3t+1} + 4t = -\frac{3\pi}{(3t+1)^2} \cos \frac{\pi}{3t+1} + 4t. \]


Do đó vận tốc của chất điểm tại thời điểm \(t = 1\) là \(v(1) = -\frac{3\pi}{16} \cos \frac{\pi}{4} + 4 \approx 3,58\) (m/s).


Chọn đáp án B \(\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\) \(\nabla\)

Câu 13. Hình vẽ dưới đây là một phần đồ thị của hàm số lượng giác nào?





A) \(y = \sin 3x\).


B) \(y = \cos 2x\).


C) \(y = \cos x\).


D) \(y = \sin 2x\).


## 4> LỜI GIẢI


Chọn đáp án D \(\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\sdot\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\sdiv\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\div\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\)

Câu 14.


Cho hàm số \(y = f(x)\) có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây là đúng?


A) Hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\).


B \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\).


C) Hàm số gián đoạn tại \(x = 0\).


D \(\lim_{x \to 0} f(x) = 0\).



## 1/2 LỜI GIẢI


Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Câu 15. Cho dãy số \((u_n)\) xác định bởi
\[\begin{cases}
u_1 = -1, u_2 = 3 \\
u_{n+1} = u_n + 2u_{n-1}
\end{cases}\]
với \(n \ge 2\). Tìm 5 số hạng đầu của dãy.


A \(-1, 3, 1, 7, 9\). B \(-1, 3, 2, 5, 7\). C \(-1, 3, 5, 13, 31\). D \(-1, 3, 5, -1, -11\).


## 1/2 LỜI GIẢI


\[
\begin{align*}
& \bullet u_3 = u_2 + 2u_1 = 3 + 2 \cdot (-1) = 1. \\
& \bullet u_4 = u_3 + 2u_2 = 1 + 2 \cdot (3) = 7. \\
& \bullet u_5 = u_4 + 2u_3 = 7 + 2 \cdot (1) = 9.
\end{align*}
\]


\[
\bullet u_5 = u_4 + 2u_3 = 7 + 3 \cdot (1) = 9.
\]


Từ đó ta được 5 số hạng đầu của dãy số đã cho là \(-1, 3, 1, 7, 9\).


Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Câu 16. Giá xăng (đồng) từ ngày 11/6 đến ngày 26/10/2021 được cho ở biểu đồ dưới đây.





Theo dữ liệu từ Bộ Công thương


Nếu gọi \(x\) là thời điểm, \(y = f(x)\) là giá xăng RON92 và \(y = g(x)\) là giá xăng RON95, ta thu được hai hàm số. Khẳng định nào sau đây đúng?


A Giá cả hai loại xăng luôn tăng theo thời gian.

B Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x)\) có được vào ngày 11/6.


C Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x)\) là 19891.


D Giá trị lớn nhất của hàm số \(g(x)\) là 21783.


## LỜI GIẢI


Mệnh đề đúng là “Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x)\) có được vào ngày 11 / 6”.


Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V

Câu 17. Miền không bị gạch trong hình (tính cả bò) là miền nghiệm của hệ bất phương trình nào?





## LỜI GIẢI


Dựa vào hình vẽ, ta thấy phương trình các cạnh của miền nghiệm là


\[(d_1): y = 0, (d_2): x + y = 2, (d_3): -x + y = 2, (d_4): x + y = 4.\]


Lại có (1; 2) (là một điểm nằm trong miền nghiệm) thoả mãn cả bốn bất phương trình


\[y \ge 0, x + y \ge 2, x + y \le \text{ và } -x + y \le 2.\]


Chọn đáp án B . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. V

Câu 18 (Điền số nguyên dương thích hợp vào chỗ trống).


Cho 2 số thực dương \(a\) và \(b\) thỏa mãn \(a \cdot 2^b = 8\) và \(a^b = 2\), giá trị của \(a^{\log_2 a} 2^{b^2}\) bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


## LỜI GIẢI


Đáp số là: 128


Lấy \(\log_2 2\) về sau đó biến đổi một hồi ta ra được đáp án là 128.

Câu 19.

Hình vẽ bên là một phần của đồ thị hàm số nào?


\[ \text{A) } y = \frac{x-1}{|x|+1}. \qquad \text{B) } y = \frac{x-1}{|x+1|}. \qquad \text{C) } y = \frac{x}{|x|+1}. \qquad \text{D) } y = \frac{-x-1}{|x|+1}. \]





##

LỜI GIẢI


Đồ thị hàm số đi qua điểm (1;0) và hàm số bằng \(-1\) với \(x \le 0\) nên chỉ có hàm số \(y = \frac{x-1}{|x|+1}\) thoả mãn yêu cầu bài toán.


Chọn đáp án A .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Câu 20 (Điền số thích hợp vào chỗ trống).


Có một hình nón với bán kính 4 cm và chiều cao 5 cm. Hình nón này được di chuyển thẳng lên trên 10 cm, sau đó di chuyển sang phải 7 cm.





Thể tích của phần không gian mà hình nón đã đi qua là ................ cm³, làm tròn 2 số thập phân sau dấu phẩy.


##

LỜI GIẢI


Đáp số là: 726,43

Câu 21.


Cho hình lăng trụ đều \(ABC.A'B'C'\) có tất cả các cạnh bằng \(a\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AM\) và \(B'C\).


\[ \text{A) } \frac{a\sqrt{2}}{2}. \qquad \text{B) } \frac{a\sqrt{2}}{4}. \qquad \text{C) } a. \qquad \text{D) } a\sqrt{2}. \]



## 1/2 LỜI GIẢI


Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Câu 22.


Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ, diện tích \(S_1 = 10, S_2 = 4\). Tính \(\int_{-2}^{3} f(x) dx\).


A 24.


B 36.


C 14.


D 6.





## 1/2 LỜI GIẢI


Ta có \(\int_{-2}^{3} f(x) dx = \int_{-2}^{1} f(x) dx + \int_{1}^{3} f(x) dx = S_1 - S_2 = 10 - 4 = 6.\)

Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Câu 23. Cho \(\{a_n\}\) là một cấp số cộng tăng dần gồm các số nguyên dương thỏa mãn


\[ \log_{a_1} a_{13} = \log_{a_{13}} a_{125} = \frac{3}{2} \]


Giá trị của \(a_{111}\) bằng?


A 456.


B 546.


C 654.


D 465.


## 1/2 LỜI GIẢI


\[ a_{13} - a_1 = y^6 - y^4 = 12d; \quad a_{125} - a_{13} = y^9 - y^6 = 112d. \]


Khi đó


\[ \frac{y^9 - y^6}{y^6 - y^4} = \frac{112d}{12d} \Rightarrow \frac{y^5 - y^2}{y^2 - 1} = \frac{y^2(y^2 + y + 1)}{y + 1} = \frac{28}{3}. \]


Tới đây mọi người xử lý nốt nhé!


Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

## Câu 24 (Điền số thích hợp vào chỗ trống).


Trong dịp Tết Trung thu một nhóm các em thiếu niên tham gia trò chơi “Ném vòng vào cổ chai lấy thưởng”. Mỗi em được ném vòng. Xác suất ném vòng vào cổ trai của bạn thứ nhất là 0,75. Xác suất ném vào cổ chai của bạn thứ hai là 0,6. Xác suất ném vào cổ chai của bạn thứ ba là 0,3. Xác suất để có đúng một em ném vào cổ chai là (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Gọi B là biến cố để có đúng một em ném vào cố chai. Ta có


\[
\begin{aligned}
P(B) &= P(A_1\overline{A_2A_3}) + P(\overline{A_1}A_2\overline{A_3}) + P(\overline{A_1}\overline{A_2}A_3) \\
&= 0,75 \cdot 0,4 \cdot 0,7 + 0,25 \cdot 0,6 \cdot 0,7 + 0,25 \cdot 0,4 \cdot 0,7 \\
&\approx 0,39.
\end{aligned}
\]

Câu 25.


Cho hàm số \(y = f(x)\) có đồ thị \(y = f'(x)\) cắt trục Ox tại ba điểm lần lượt có hoành độ \(a, b, c\) như hình vẽ. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau.

Mệnh đề	Đúng	Sai
a) \(f(c) + f(a) - 2f(b) > 0\).	T
b) \((f(b) - f(a))(f(b) - f(c)) < 0\).	F
c) \(f(a) > f(b) > f(c)\).	F
d) \(f(c) > f(b) > f(a)\).	F





## 4) LỜI GIẢI

x	-∞	a	b	c	+∞
y'	+	0	-	0	-
y			f(a)	f(c)

Từ bảng biến thiên suy ra
\[\begin{cases}
f(a) > f(b) \\
f(c) > f(b)
\end{cases}
\Rightarrow f(c) + f(a) - 2f(b) > 0\]


Chọn đáp án a đúng b sai c sai d sai

Câu 26. Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d: \frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{2} = \frac{z+2}{2}\) và mặt phẳng


\[(P): x + 2y + 2z - 7 = 0.\]


Gọi \(I\) là giao điểm của \(d\) và \((P)\), biết \(IM = 9\), khoảng cách từ điểm \(M\) thuộc \(d\) đến \((P)\) bằng


A \(\sqrt{15}\).


B \(3\sqrt{2}\).


C 8.


D \(2\sqrt{5}\).


## 5) LỜI GIẢI


Chọn đáp án C

Câu 27 (Điền số nguyên dương thích hợp vào chỗ trống).


Bạn Pi viết các số là bội của 9 từ 9 đến 999 cạnh nhau, tổng các chữ số của số mà Pi viết ra là ....


## 6) LỜI GIẢI


Đáp số là: 1512


Nếu \(x\) là bội số của 9, thì \(999 - x\) cũng là bội số của 9, và tổng các chữ số của chúng luôn bằng 27. Có 112 bội số của 9 trong khoảng từ 0 đến 999, tạo thành 56 cặp như vậy. Vì thế, tổng các chữ số của chúng là


\[56 \times 27 = 1512.\]

Câu 28 (Điền số nguyên dương thích hợp vào chỗ trống).


Biết rằng giá trị lớn nhất của số thực a để tồn tại 2 số thực b và c thỏa mãn


\[a^{\log_b c} \cdot b^{\log_a c} = 2023\]


có thể viết được dưới dạng \(\sqrt{m}\). Giá trị của m bằng \(\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\)


<1> LỜI GIẢI


Đáp số là: 2023


Bài này khá hay, đặt \(A = \ln a, B = \ln b, C = \ln c\) thì \(a^{\log_b c} = e^{\frac{AC}{B}}\) và \(b^{\log_a c} = e^{\frac{BA}{C}}\). Ta có


\[\ln(2023) = A \left( \frac{B}{C} + \frac{C}{B} \right) \geq A \cdot 2 \sqrt{\frac{B}{C} \times \frac{C}{B}} = 2A\]


Do đó giá trị nhỏ nhất của A là \(\frac{\ln(2023)}{2}\).

Câu 29 (Kéo thả ô vuông thích hợp vào chỗ trống).


Chúng ta cắt một khối bát diện đều bằng một mặt phẳng đi qua ba điểm \(A, B, C\) là trung điểm của ba cạnh như hình vẽ.





Tổng diện tích bề mặt của hai khối đa diện được chia ra sẽ gấp \(\ldots\ldots\ldots\) lần diện tích bề mặt của khối bát diện ban đầu.


<1> LỜI GIẢI


Đáp số là: \(\frac{11}{8}\)


Câu này cần chú rằng thiết diện là một hình lục giác đều, tính diện tích của hình này là xong.

Câu 30 (Điền số nguyên dương thích hợp vào chỗ trống).



Cho hình chữ nhật như hình vẽ trên. Khi đó diện tích lớn nhất của hình chữ nhật này bằng ………


## ½ LỜI GIẢI


Đáp số là: 36





Bài này khá là lạ nhé, đầu tiên theo định lý lá cờ nước Anh ta tính được đoạn còn lại trong 4 đoạn thẳng trên hình bằng 1. Khi đó khoảng cách từ \(I\) tới 2 cạnh của hình chữ nhật là \(x\) và \(\sqrt{1-x^2}\), lúc này ta tính được


\[S(x) = \left(\sqrt{16 - x^2} + \sqrt{1 - x^2}\right) \left(x + \sqrt{48 + x^2}\right) \le S \left(\frac{4}{\sqrt{65}}\right) = 36.\]


Đạo hàm là xong nhé! Ngoài ra còn một cách nữa là sử dụng định lý Ptoleme, nhưng lề giấy không đủ để ghi nên mình xin phép viết lời giải bài này tới đây thôi nhé!

### Câu 31 (Điền số nguyên dương thích hợp vào chỗ trống).


Bạn Pi viết cho bạn Max con số 12345678 sau đó yêu cầu bạn Max thực hiện như sau: Các chữ số ở vị trí 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 lần lượt được di chuyển đến vị trí 2, 4, 6, 8, 1, 3, 5, 7.





Thực hiện các bước trên 100 lần, khi đó bạn Max sẽ nhận được con số …………………


## ½ LỜI GIẢI


Đáp số là: 48372615


Thi TSA thì mấy bài số học hoặc tổ hợp hay có quy luật, nhân lúc chưa nghĩ ra được cách giải thì bạn có thể viết ra 6 trường hợp đầu tiên. Khi thực hiện thao tác 6 lần, dãy số sẽ quay trở lại trạng thái ban đầu.





Vì 100 chia 6 bằng 16 dư 4, nên lần thứ 100 sẽ giống với lần thứ 4, tức là 48372615.

Câu 32 (Kéo thả ô vuông thích hợp vào chỗ trống).


Bạn Pi tung một con xúc xắc cân đối đồng chất \(n\) lần. Khi đó với \(n\) bằng ...... thì xác suất "tích các số tung được bằng 2025" là lớn nhất?


<1> LỜI GIẢI


Đáp số là: 7


Bài này dễ, chú ý rằng \(2025 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5\). Như vậy bạn Pi phải tung ra 4 lần số 3,2 lần số 5, và \(n - 6\) lần số 1 để có tích bằng 2025. Từ đây thiết lập được công thức xác suất của biến cố mà đề bài cho theo \(n\), cuối cùng ta kiểm tra một vài giá trị của \(n\) thì thấy \(n = 7\) thì cho xác suất lớn nhất.

Câu 33 (Kéo thả ô vuông thích hợp vào chỗ trống).





Có một lưới ô vuông gồm các hình vuông có cùng kích thước như trong hình bên dưới. Trong đó, 12 hình vuông có các đường chéo được vẽ.





Bằng cách đi dọc theo các cạnh hoặc đường chéo của các ô vuông trong lưới, khi đó


1. số cách chọn đường đi ngắn nhất từ \(A\) đến \(B\) là ...... cách.


2. số cách chọn đường đi ngắn nhất từ \(A\) đến \(C\) là ...... cách.


<2> LỜI GIẢI


1. số cách chọn đường đi ngắn nhất từ \(A\) đến \(B\) là \(\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}\) cách.


2. số cách chọn đường đi ngắn nhất từ \(A\) đên \(C\) là \(\begin{pmatrix} 8 \\ 4 \end{pmatrix}\) cách.


Gọi ý với ý 2. Chú ý đường đi ngắn nhất từ \(A\) tới \(C\) phải đi qua 8 cạnh.

Câu 34 (Điền số nguyên dương thích hợp vào chỗ trống).


Xét một lăng trụ tam giác có đáy là tam giác cân với cạnh đáy 2 cm, chiều cao 2 cm và chiều cao của lăng trụ là 2 cm. Lăng trụ tam giác này được đặt vào bên trong một hình lập phương có cạnh 2 cm như trong hình.




Như trong hình vẽ, có hai cách đặt lăng trụ tam giác với hướng khác nhau. Phần không gian chung của hai lăng trụ này được gọi là khối Y. Thể tích của Y bằng ........................................ cm³


## 4. LỜI GIẢI


Đáp số là: 2


Mình vẽ giúp các bạn cái hình nhé!





Tới đây dùng các kiến thức và tưởng tượng một xíu là xong nhé!

Câu 35 (Kéo thả ô vuông thích hợp vào chỗ trống).





Pì có một bộ sưu tầm các đa giác, sau đó Pì viết ra một danh sách chứa số đo góc trong của từng đa giác. Danh sách này bao gồm các góc 30°, 50°, 60°, 70°, 90°, 100°, 120°, 160° và \(x^\circ\), được viết ngẫu nhiên theo một thứ tự nào đó. Khi đó giá trị của \(x\) là ........................................


## 5. LỜI GIẢI


Đáp số là: 220


Đây là câu mình thích nhất trong đề này. Ta có tổng của các góc đã cho là \(680 + x\). Tổng các góc trong của một đa giác có \(n\) cạnh là


\[180(n - 2) \equiv 180n \pmod{360}.\]


Vì có 9 góc, nên tổng số cạnh của các đa giác cũng là 9. Do đó, tổng 9 góc này phải thỏa mãn:


\[9 \times 180 \equiv 180 \pmod{360}\]


Từ đó, ta có


\[680 + x \equiv 180 \pmod{360} \Rightarrow x \equiv 220 \pmod{360}.\]


Vì \(0 < x < 360\), nên \(x = 220\).

Câu 36 (Kéo thả ô vuông thích hợp vào chỗ trống).

Một số được gọi là iggy nếu như nó là một số có 4 chữ số có dạng \(abb\overline{a}\) chia hết đồng thời cho \(b\) và \(\overline{bb}\). Khi đó số các số là số iggy bằng \(\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\)


## ½ LỜI GIẢI


Đáp số là: 31


Ta có \(\overline{bb} \mid abba \implies 11b \mid a \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13\). Vì \(b < 10\) và 13 là số nguyên tố nên
\(b \mid a \cdot 7\).


Vì \(b < 10\) nên ta tính được số các số thỏa mãn là


\[9 + 4 + 3 + 2 + 1 + 1 + 9 + 1 + 1 = 31.\]

Câu 37 (Điền số thích hợp vào chỗ chấm).


Cho 4 hình vuông đơn vị tạo thành một lưới có kích thước \(2 \times 2\). Mỗi một cạnh trong số 12 cạnh của các hình vuông đơn vị thì được tô một trong hai màu là BLACK và PINK. Tính xác suất để khi ta tô màu thì các hình vuông đơn vị đều có số cạnh được tô màu BLACK và PINK là bằng nhau. Hình vẽ bên dưới mô tả cho một số cách tô màu thỏa mãn, ở đây BLACK được biểu diễn bằng nét liền và PINK được biểu diễn bằng nét đứt.





Đáp án là (làm tròn tới 2 số thập phân sau dấu phẩy) \(\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\)


## ½ LỜI GIẢI


Đáp số là: 0,02


Bài này cũng khá hay, ta sẽ chia các trường hợp dựa vào các cạnh ở bên trong, cụ thể xét 5 trường hợp sau.





Còn lại thì dễ rồi, ta thấy có 82 cách tô màu thỏa mãn, công việc nhường lại các bạn nhé!

Câu 38 (Kéo thả ô vuông thích hợp vào chỗ trống).


\[ \frac{p}{2} \quad \frac{p}{2} \quad \frac{1}{4} \]

Như hình bên, có một mạng lưới gồm 9 điểm \(O, A, B, C, D, E, F, G, H\) được nối bằng các đoạn thẳng. Một người bắt đầu ở điểm \(O\) và di chuyển đến một điểm kề cạnh trong mỗi lần di chuyển theo các quy tắc sau:


- Ở điểm \(O\), người đó có xác suất là \(\frac{1}{4}\) để di chuyển đến \(E, F, G\) hoặc \(H\).


- Ở \(A, B, C, D\), người đó có xác suất là \(\frac{1}{2}\) để di chuyển đến một trong hai điểm kề cạnh.


- Ở \(E, F, G, H\), người đó có xác suất là \(1 - 2p\) để quay lại \(O\), và là \(p\) để di đến mỗi điểm kề cạnh khác (với \(0 < p < \frac{1}{2}\)).


Khi đó


1. Xác suất người đó ở \(A\) hoặc \(C\) sau 2 lần di chuyển là ............................................


2. Xác suất người đó quay lại \(O\) sau 2 lần di chuyển và đã đi qua \(E\) là ............................................


3. Xác suất người đó ở \(A\) sau 4 lần di chuyển là ............................................


4. Xác suất người đó ở \(A\) sau 2 lần di chuyển mà chưa từng đi qua \(O\) kể từ khi bắt đầu là ............


## 1/2 LỜI GIẢI


1. Trước tiên ta có sơ đồ sau.





Một người di chuyển đúng 2 lần để đến \(A\) có 2 cách như trong hình bên trên, và chúng là các trường hợp không trùng lặp. Xác suất của biến cố này là


\[ \frac{1}{4} \cdot p + \frac{1}{4} \cdot p = \frac{p}{2}. \]


Tương tự, xác suất để di chuyển đúng 2 lần và đến \(B, C, D\) đều bằng nhau và bằng \(\frac{p}{2}\). Do đó, xác suất để sau 2 lần di chuyển có mặt ở \(A\) hoặc \(C\) là


\[ \frac{p}{2} + \frac{p}{2} = p. \]


2. Xác suất một người quay lại điểm \(O\) sau đúng 2 lần di chuyển qua \(E\) là


\[ \frac{1}{4} \cdot (1 - 2p) = \frac{1 - 2p}{4}. \]


Tương tự, xác suất quay lại điểm \(O\) sau đúng 2 lần di chuyển qua F, qua G hoặc qua H cũng đều bằng \(\frac{1-2p}{4}\). Gọi sự biến cố quay lại điểm \(O\) sau đúng 2 lần di chuyển là \(O_2\), và gọi biến cố đi qua \(E\) là \(E\), khi đó xác suất cần tìm là


\[ P(E \mid O_2) = \frac{P(O_2 \cap E)}{P(O_2)} = \frac{P(E \cap O_2)}{P(O_2)} = \frac{\frac{1-2p}{4}}{\frac{1-2p}{4} \times 4} = \frac{1}{4}. \]


3. Cầu này làm tương tự thôi nhé, chịu khó chia trường hợp nhé, đáp án là \(\frac{p}{2}\).

4 Cũng thế nha, đáp án là \(1 - 2p\).

Câu 39. Số giá trị thực của \(x\) thỏa mãn \((3 \cdot 2^{\lfloor \log_2 x \rfloor} - x)^{16} = 2022x^{13}\) là?¹


A 8.


B 9.


C 10.


D 11.


₄ LỜI GIẢI


Gọi \(f(x) = 3 \cdot 2^{\lfloor \log_2 x \rfloor} - x\). Lưu ý rằng đối với mỗi số nguyên \(i\), nếu \(x \in [2^i, 2^{i+1})\), thì \(f(x) = 3 \cdot 2^i - x\). Đây là một đoạn thẳng từ \((2^i, 2^{i+1})\) đến \((2^{i+1}, 2^i)\), bao gồm điểm đầu tiên nhưng không bao gồm điểm thứ hai.





Bây giờ, xét \(g(x) = \frac{f(x)^{16}}{x^{13}}\), để thấy đây là một hàm nghịch biến trên \([2^i, 2^{i+1})\), tức là đồ thị của nó là các đoạn “đi xuống” nối từ điểm \((2^i, 2^{3i+16})\) đến \((2^{i+1}, 2^{3i-13})\). Chú ý rằng \(-1 \le i \le 7\), ta có
\[
2^{3i-13} \le 2^{10} < 2022 < 2^{11} \le 2^{3i+16}.
\]


Điều này có nghĩa là đường thẳng \(y = 2022\) sẽ cắt các phần tách rời của đồ thị \(y = g(x)\) tại 9 điểm.
Chọn đáp án B

Câu 40 (Kéo thả ô vuông thích hợp vào chỗ trống).





Hình trái phẳng của 2 khối đa diện. A và B được cho lần lượt như ở 2 hình vẽ bên dưới.





Biết rằng tất cả các cạnh của A và B bằng 10. Khi đó thể tích của A gấp ...... thể tích khối B.


₄ LỜI GIẢI